Dado o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\}, assinale V ou F nas sentenças abaixo. Justifique suas respostas.
\{\emptyset\} \subset B

Passo 1

O enunciado dá o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\} e pede que a gente assinale se a sentença \{\emptyset\}\subset B é verdadeira (V) ou falsa (F) e que justifique a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
  • A lista completa de elementos de B é exatamente \emptyset, 2, \{2,3\}, \{4\}, 7, d.
  • A sentença a analisar é \{\emptyset\}\subset B.

Passo 2

Lembrete de definição (explicado passo a passo): dizemos que A\subset B quando todo elemento de A também é elemento de B. Em símbolos:
A\subset B \quad\Longleftrightarrow\quad (\forall x)\bigl(x\in A \Rightarrow x\in B\bigr).
Importante distinguir duas coisas que confundem muita gente:
  • \emptyset é o conjunto vazio (não tem elementos).
  • \{\emptyset\} é o conjunto que tem exatamente um elemento, e esse elemento é o conjunto vazio. Ou seja, \{\emptyset\} não é vazio: tem um elemento, que é \emptyset.

Passo 3

Identificar os elementos de \{\emptyset\} e verificar se estão em B. Os elementos de \{\emptyset\} são somente:
\text{o conjunto }\{\emptyset\}\text{ tem como único elemento } \emptyset.ú
Agora olhar B: pela definição do enunciado, \emptyset aparece explicitamente como um dos elementos de B. Em símbolos:
\emptyset \in B.

Passo 4

Prova direta usando a definição de subconjunto: seja x um elemento arbitrário de \{\emptyset\}. Então, por definição de \{\emptyset\}, tem-se x=\emptyset. Como já vimos, \emptyset\in B. Logo x\in B. Assim, qualquer elemento x de \{\emptyset\} pertence a B. Pelas regras, isso prova que
\{\emptyset\}\subset B.
Observação extra (útil em prova de exame): \{\emptyset\} é um subconjunto próprio de B porque \{\emptyset\}\neq B (por exemplo 2\in B mas 2\notin\{\emptyset\}).

Resposta

V

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