Usando o método de eliminação de Gauss, determine os valores de a in R para os quais:
(a) o sistema não tem solução.
(b) o sistema tem solução única.
(c) o sistema tem infinitas soluções.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o parâmetro [a\in\mathbb R) e o sistema
O conteúdo aqui é “sistemas lineares” e vamos usar o método de eliminação de Gauss. Para isso, precisamos:
montar a matriz aumentada;
aplicar operações elementares de linha para triangularizar;
identificar o pivô que depende de ou ).
Passo 2
Montando a matriz aumentada (cada linha = equação, as três primeiras colunas = coeficientes de x,y,z, a última = termos independentes):
Em forma de equações, a última linha virou (a^2-4)z = a-2.
Passo 5
O coeficiente ,a^2-4 é o pivô para z. Dependendo dele ser zero ou não, mudam os tipos de solução:
Se a^2-4neq0 (isto é, aneq2 e aneq-2), dá pra isolar
z = a-2a^2-4,
e daí voltamos em cima pra achar y e x de forma única.
Se a^2-4=0 (ou seja a=2 ou a=-2), o pivô some e a equação vira 0cdot z = a-2.
Passo 6
Analisando os dois subcasos quando a^2-4=0:
Para a=2: fica 0cdot z = 2-2 = 0, ou seja 0=0. Isso é consistente mas não dá informação nova, sobra um grau de liberdade (3 incógnitas, só 2 equações efetivas) → infinitas soluções.
Para a=-2: fica 0cdot z = -2-2 = -4, ou seja 0=-4 → contradição → sem solução.
Resposta
(a) Sem solução: a=-2.
(b) Solução única: ain Rsetminus-2,2.
(c) Infinitas soluções: a=2.