Dado a in R, considere o sistema nas incógnitas x, y, z
ccc x-y+z & =4 x+2 y+8 z & = & -2 2 x+y+(a^2+5) z & =a
Usando o método de eliminação de Gauss, determine os valores de a in R para os quais:
(a) o sistema não tem solução.
(b) o sistema tem solução única.
(c) o sistema tem infinitas soluções.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o parâmetro [a\in\mathbb R) e o sistema
O conteúdo aqui é “sistemas lineares” e vamos usar o método de eliminação de Gauss. Para isso, precisamos:
  1. montar a matriz aumentada;
  2. aplicar operações elementares de linha para triangularizar;
  3. identificar o pivô que depende de ou ).

Passo 2

Montando a matriz aumentada (cada linha = equação, as três primeiras colunas = coeficientes de x,y,z, a última = termos independentes):
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 4 1 & 2 & 8 & -2 2 & 1 & a^2+5 & a ]

Passo 3

Vamos eliminar x de baixo para cima:
  • R2 R2 - R1
  • R3 R3 - 2,R1
    Isso mantém as soluções iguais e gera:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 4 0 & 3 & 7 & -6 0 & 3 & a^2+3 & a-8 ]

Passo 4

Agora eliminamos y da terceira linha:
R3 R3 - R2 ;;Longrightarrow;; [ccc|c 1 & -1 & 1 & 4 0 & 3 & 7 & -6 0 & 0 & a^2 - 4 & a - 2 ]
Em forma de equações, a última linha virou (a^2-4)z = a-2.

Passo 5

O coeficiente ,a^2-4 é o pivô para z. Dependendo dele ser zero ou não, mudam os tipos de solução:
  • Se a^2-4neq0 (isto é, aneq2 e aneq-2), dá pra isolar
z = a-2a^2-4,
e daí voltamos em cima pra achar y e x de forma única.
  • Se a^2-4=0 (ou seja a=2 ou a=-2), o pivô some e a equação vira 0cdot z = a-2.

Passo 6

Analisando os dois subcasos quando a^2-4=0:
  • Para a=2: fica 0cdot z = 2-2 = 0, ou seja 0=0. Isso é consistente mas não dá informação nova, sobra um grau de liberdade (3 incógnitas, só 2 equações efetivas) → infinitas soluções.
  • Para a=-2: fica 0cdot z = -2-2 = -4, ou seja 0=-4 → contradição → sem solução.

Resposta

(a) Sem solução: a=-2.
(b) Solução única: ain Rsetminus-2,2.
(c) Infinitas soluções: a=2.

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