Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
e depois representar isso no plano cartesiano
. Isso envolve entender onde a função está definida, principalmente por causa do logaritmo natural. Para resolver, vamos precisar saber que o argumento do logaritmo deve ser positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural,
, só existe quando
. Então, para a nossa função
, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições que
e
devem satisfazer. Vamos isolar o termo que contém
:
Passo 4
Vamos reescrever a desigualdade para deixar
em evidência:
Passo 5
Agora, observamos que
é sempre positivo, exceto quando
. No caso de
, a expressão
não está definida, então
não pode ser zero. Portanto, as condições que definem o domínio são:
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os números reais
e
tais que
e
. No plano cartesiano
, isso corresponde à região acima de todas as curvas definidas por
, excluindo a linha
.