Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano x y.
f(x, y)=ln (1-(x-1) y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função f(x, y) = ln(1 - (x - 1) y^2) e depois representar isso no plano cartesiano xy. Isso envolve entender onde a função está definida, principalmente por causa do logaritmo natural. Para resolver, vamos precisar saber que o argumento do logaritmo deve ser positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, ln(z), só existe quando z > 0. Então, para a nossa função f(x, y) = ln(1 - (x - 1) y^2) , precisamos que:
1 - (x - 1) y^2 > 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições que x e y devem satisfazer. Vamos isolar o termo que contém x:
1 > (x - 1) y^2

Passo 4

Vamos reescrever a desigualdade para deixar x em evidência:
x - 1 < 1y^2
x < 1 + 1y^2

Passo 5

Agora, observamos que y^2 é sempre positivo, exceto quando y = 0. No caso de y = 0, a expressão 1y^2 não está definida, então y não pode ser zero. Portanto, as condições que definem o domínio são:
y neq 0 e x < 1 + 1y^2

Resposta

O domínio da função f(x, y) = ln(1 - (x - 1) y^2) é o conjunto de todos os números reais x e y tais que y neq 0 e x < 1 + 1y^2. No plano cartesiano xy, isso corresponde à região acima de todas as curvas definidas por x = 1 + 1y^2, excluindo a linha y = 0.

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