1. Dado a>0, defina indutivamente a seqüência \left(y_{n}\right), pondo y_{1}=a e y_{n+1}=a+1 / y_{n}. Mostre que \lim y_{n}=a+c, onde c é como no exercício anterior.

Passo 1

O enunciado define a sequência de números reais \{y_n\} por
y_{1}=a,\qquad y_{n+1}=a+\frac1{y_n},
com a>0, e pede que mostremos
\lim_{n\to\infty}y_n = a + c,
onde c é o mesmo da questão anterior.
Para resolver, vamos interpretar a aplicação
f(x)=a+\frac1x
e usar o fato de que a sequência tende a um ponto fixo de f. Também vamos explorar a monotonicidade e o fato de que \{y_n\} permanece positiva e confinada num intervalo.

Passo 2

Primeiro, notemos por indução que y_n>0 para todo n. De fato, y_1=a>0 e se y_n>0 então
y_{n+1}=a+\frac1{y_n}>a>0.
Portanto todos os termos são positivos e, em particular, f está bem definida em cada y_n.

Passo 3

Os pontos fixos de f satisfazem
L = a + \frac1L \quad\Longrightarrow\quad L^2 - aL -1 = 0.
As raízes são
L_{\pm} = \frac{a\pm\sqrt{a^2+4}}2.
Como L_-<0 e L_+>0, o único fixo relevante é
L = L_+ = \frac{a+\sqrt{a^2+4}}2.

Passo 4

Mostremos agora que \{y_{2n}\} é decrescente e \{y_{2n+1}\} é crescente, ambos confinados a um intervalo que contém L.
  1. y_2 = a + 1/a > a = y_1, então y_2>y_1.
  2. Suponha y_{2n}>y_{2n-1}. Então, aplicando f, que é estritamente decrescente em (0,\infty), obtemos
y_{2n+1}=f(y_{2n})<f(y_{2n-1})=y_{2n},
logo y_{2n+1}<y_{2n}.
3. De modo análogo, da desigualdade y_{2n+1}<y_{2n} segue
y_{2n+2}=f(y_{2n+1})>f(y_{2n})=y_{2n+1},
isto é, y_{2n+2}>y_{2n+1}.
Portanto, \{y_{2n}\} é decrescente e \{y_{2n+1}\} é crescente. Além disso, como sempre vale y_{2n+1}<y_{2n}, cada subsequência está confinada em (y_1,y_2), um intervalo compacto de \R.

Passo 5

Por serem monotônicas e limitadas, \{y_{2n}\} e \{y_{2n+1}\} convergem a limites L_{\rm par} e L_{\rm impar}, respectivamente. Como
\lim_{n\to\infty}y_{2n+1} =\lim_{n\to\infty}f\bigl(y_{2n}\bigr) =f\bigl(L_{\rm par}\bigr),
temos L_{\rm impar}=f(L_{\rm par}). Analogamente L_{\rm par}=f(L_{\rm impar}). Combinando, deduz-se
L_{\rm par}=f\bigl(f(L_{\rm par})\bigr) \quad\Longrightarrow\quad L_{\rm par}=f(L_{\rm par}),
pois f\circ f tem o mesmo ponto fixo de f. Logo ambos os limites satisfazem L=f(L), e portanto
L_{\rm par}=L_{\rm impar}=L=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}2.

Passo 6

Definindo
c = L - a,
vemos que c satisfaz
L=a+c \quad\text{e}\quad L^2 - aL -1=0 \;\Longrightarrow\; c^2 + a\,c -1=0,
exatamente como no exercício anterior. Daí
\lim_{n\to\infty}y_n = L = a+c.

Resposta

\lim_{n\to\infty}y_n = a + c,
onde c é a raiz positiva da equação c^2 + a\,c -1=0, isto é
c = \frac{-\,a + \sqrt{a^2+4}}2.

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