Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
\int x \sqrt{1+2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx
usando o método da substituição. Vamos identificar uma parte cuja derivada apareça multiplicando em x\,dx.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 1 + 2x^{2}.
Dessa forma, a raiz fica \sqrt{u} e precisamos reescrever x\,dx em termos de du.

Passo 3

Calculamos a diferencial de u:
du = \frac{d}{dx}(1+2x^{2})\,dx = 4x\,dx
Logo,
x\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 5

Agora integramos u^{\tfrac12}:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.
Multiplicando por \tfrac14 fica
\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C = \frac{1}{6}\,u^{\tfrac32} + C.

Resposta

\int x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{\tfrac32} + C.

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