Um dado é formado por chapas de plástico de
. Em média aparecem 150 defeitos por metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson.
Qual a probabilidade de que pelo menos 4 faces sejam perfeitas?
Justifique sua resposta!
Qual a probabilidade de que pelo menos 4 faces sejam perfeitas?
Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um dado de plástico, cada face medindo
. A densidade de defeitos no plástico é de 150 defeitos por metro quadrado, e a distribuição desses defeitos segue uma distribuição de Poisson. O que queremos descobrir é a probabilidade de que pelo menos 4 das 6 faces do dado estejam perfeitas, ou seja, sem nenhum defeito.
Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição de Poisson e como aplicá-la para calcular a probabilidade de eventos específicos acontecerem em um intervalo ou área dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área de uma face do dado. Cada face mede
, o que equivale a
.
Passo 3
Sabemos que há, em média, 150 defeitos por metro quadrado. Então, para uma área de
, a média de defeitos (
) será:
Isso significa que, em média, esperamos 1,5 defeitos por face do dado.
Passo 4
A distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de um certo número de eventos (neste caso, defeitos) ocorrer em um intervalo fixo (a área da face do dado), quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente defeitos, -
é a média de defeitos, -
é a base do logaritmo natural, -
é o fatorial de .
Passo 5
Queremos encontrar a probabilidade de uma face estar perfeita, ou seja, ter
defeitos. Aplicando a fórmula:
Então, a probabilidade de uma face estar perfeita é aproximadamente 22,31%.
Passo 6
Agora, queremos saber a probabilidade de pelo menos 4 faces estarem perfeitas. Isso significa que podemos ter 4, 5 ou 6 faces perfeitas. Vamos usar a distribuição binomial para calcular isso, já que cada face pode ser considerada um “sucesso” (perfeita) ou “fracasso” (com defeitos).
A fórmula da distribuição binomial é:
onde:
-
é a combinação de elementos tomados a , -
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa, -
é o número total de tentativas, -
é o número de sucessos desejados.
Passo 7
Aqui, temos:
-
(número de faces), -
(probabilidade de uma face estar perfeita), -
pode ser 4, 5 ou 6.
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades e somá-las.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Calculando cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Agora, somamos as probabilidades individuais:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 4 faces do dado sejam perfeitas é aproximadamente 2,54%.