Um dado é formado por chapas de plástico de 10 cm times 10 cm. Em média aparecem 150 defeitos por metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson.
Qual a probabilidade de que pelo menos 4 faces sejam perfeitas?
Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um dado de plástico, cada face medindo 10 cm times 10 cm. A densidade de defeitos no plástico é de 150 defeitos por metro quadrado, e a distribuição desses defeitos segue uma distribuição de Poisson. O que queremos descobrir é a probabilidade de que pelo menos 4 das 6 faces do dado estejam perfeitas, ou seja, sem nenhum defeito.
Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição de Poisson e como aplicá-la para calcular a probabilidade de eventos específicos acontecerem em um intervalo ou área dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área de uma face do dado. Cada face mede 10 cm times 10 cm, o que equivale a 0,1 m times 0,1 m = 0,01 m^2.

Passo 3

Sabemos que há, em média, 150 defeitos por metro quadrado. Então, para uma área de 0,01 m^2, a média de defeitos ( lambda) será:
lambda = 150 times 0,01 = 1,5
Isso significa que, em média, esperamos 1,5 defeitos por face do dado.

Passo 4

A distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de um certo número de eventos (neste caso, defeitos) ocorrer em um intervalo fixo (a área da face do dado), quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • P(k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k defeitos,
  • lambda é a média de defeitos,
  • e é a base do logaritmo natural,
  • k! é o fatorial de k.

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de uma face estar perfeita, ou seja, ter k = 0 defeitos. Aplicando a fórmula:
P(0) = 1,5^0 e^-1,50! = e^-1,5 approx 0,2231
Então, a probabilidade de uma face estar perfeita é aproximadamente 22,31%.

Passo 6

Agora, queremos saber a probabilidade de pelo menos 4 faces estarem perfeitas. Isso significa que podemos ter 4, 5 ou 6 faces perfeitas. Vamos usar a distribuição binomial para calcular isso, já que cada face pode ser considerada um “sucesso” (perfeita) ou “fracasso” (com defeitos).
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^n-k
onde:
  • C(n,k) é a combinação de n elementos tomados k a k,
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa,
  • n é o número total de tentativas,
  • k é o número de sucessos desejados.

Passo 7

Aqui, temos:
  • n = 6 (número de faces),
  • p = 0,2231 (probabilidade de uma face estar perfeita),
  • k pode ser 4, 5 ou 6.
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades e somá-las.
Para k = 4:
P(4) = C(6,4) times (0,2231)^4 times (1 - 0,2231)^2
Para k = 5:
P(5) = C(6,5) times (0,2231)^5 times (1 - 0,2231)^1
Para k = 6:
P(6) = C(6,6) times (0,2231)^6 times (1 - 0,2231)^0

Passo 8

Calculando cada termo:
  • Para k = 4:
C(6,4) = 15 P(4) = 15 times (0,2231)^4 times (0,7769)^2 approx 15 times 0,0025 times 0,6035 approx 0,0227
  • Para k = 5:
C(6,5) = 6 P(5) = 6 times (0,2231)^5 times (0,7769)^1 approx 6 times 0,00056 times 0,7769 approx 0,0026
  • Para k = 6:
C(6,6) = 1 P(6) = 1 times (0,2231)^6 times (0,7769)^0 approx 1 times 0,00013 times 1 approx 0,00013

Passo 9

Agora, somamos as probabilidades individuais:
P(X >= 4) = P(4) + P(5) + P(6) P(X >= 4) approx 0,0227 + 0,0026 + 0,00013 approx 0,0254

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 4 faces do dado sejam perfeitas é aproximadamente 2,54%.

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