Seja X sim N(mu, sigma^2). Então, determine o valor de c sabendo que:
P(X <= c)=(sigmamu)^3.
Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, o exercício diz que P(X <= c) ;=;l(tfracsigmamur)^3 é uma variável aleatória com distribuição Normal de média e variância . Queremos achar um valor tal que
O conteúdo principal aqui é distribuição Normal e uso da sua função de distribuição acumulada (CDF) e da sua inversa (quantil). Vamos precisar:
  1. conhecer a CDF da normal padrão ,
  2. saber padronizar para usar ,
  3. inverter a equação para achar .

Passo 2

Primeiro, simplifica deixando
p ;=; l(tfracsigmamur)^3
Então queremos
P(X <= c) ;=; p
Lembra que, se P(X<= c) =Phi!l(tfracc-musigmar), , a CDF é
onde .

Passo 3

Agora escrevemos
Phi!l(tfracc-musigmar) ;=;p
Para resolver isso, usamos a função inversa de tfracc-musigma ;=; Phi^-1(p) , que é o quantil da normal padrão, denotado . Aplicando dos dois lados:

Passo 4

Basta isolar c - mu ;=; sigma,Phi^-1(p) Longrightarrow c ;=; mu ;+;sigma,Phi^-1(p) :
E lembrando que , fica tudo em função de e .

Resposta

boxed,c ;=;mu ;+;sigma;Phi^-1!l(l(tfracsigmamur)^3r),

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