Dado a \in \mathbb{R}, considere os intervalos I_{n}=\left[a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right], para cada n=1,2, \ldots. Mostre que
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\{a\} .

Passo 1

O enunciado dá um ponto a\in\mathbb{R} e define, para cada n=1,2,\dots, o intervalo
I_{n} = \bigl[a - \tfrac{1}{n},\,a + \tfrac{1}{n}\bigr].
O objetivo é mostrar que
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \{a\}.
O conteúdo utilizado envolve a propriedade arquimediana de \mathbb{R} e o raciocínio sobre interseção de intervalos aninhados.

Passo 2

Primeiro mostramos que a pertence a todos os I_{n}. De fato, para cada n temos
a - \tfrac{1}{n} \;\le\; a \;\le\; a + \tfrac{1}{n},
logo a\in I_{n}. Como isso vale para todo n, segue que
a \in \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}.

Passo 3

Agora provamos que nenhum outro ponto x\neq a pode pertencer à interseção. Suponha x\in \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} e x\neq a. Então \varepsilon = |x - a| > 0.
Pela propriedade arquimediana, existe N\in\mathbb{N} tal que
\tfrac{1}{N} < \varepsilon.
Mas se \tfrac{1}{N}<|x-a|, então
|x-a| > \tfrac{1}{N} \quad\Longrightarrow\quad x \notin \bigl[a - \tfrac{1}{N},\,a + \tfrac{1}{N}\bigr] = I_{N},
o que contradiz x\in\bigcap_{n}I_{n}. Portanto não existe x\neq a na interseção.

Passo 4

Concluímos que
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}
contém a e nenhum outro ponto, ou seja,
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \{a\}.

Resposta

\{a\}

Exercícios relacionados