Dado
, considere os intervalos
, para cada
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá um ponto
e define, para cada
, o intervalo
O objetivo é mostrar que
O conteúdo utilizado envolve a propriedade arquimediana de
e o raciocínio sobre interseção de intervalos aninhados.
Passo 2
Primeiro mostramos que
pertence a todos os
. De fato, para cada
temos
logo
. Como isso vale para todo
, segue que
Passo 3
Agora provamos que nenhum outro ponto
pode pertencer à interseção. Suponha
e
. Então
.
Pela propriedade arquimediana, existe tal que
Pela propriedade arquimediana, existe
Mas se
, então
o que contradiz
. Portanto não existe
na interseção.
Passo 4
Concluímos que
contém
e nenhum outro ponto, ou seja,