Dado a \in \mathbb{R}, considere os intervalos J_{n}=\left(a, a+\frac{1}{n}\right), para cada n=1,2, \ldots Mostre que
\bigcap_{n=1}^{\infty} J_{n}=\emptyset .

Passo 1

O enunciado dá um número real a e define, para cada n\in\mathbb{N}, o intervalo aberto
J_{n}=\bigl(a,\;a+\tfrac{1}{n}\bigr).
Queremos mostrar que não existe nenhum ponto x que pertença a todos esses intervalos simultaneamente, isto é,
\bigcap_{n=1}^{\infty}J_{n}=\emptyset.
O conteúdo aqui envolve propriedades de conjuntos decrescentes em \mathbb{R} e o uso da propriedade arquimediana dos reais.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista algum x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}J_{n}. Então, para todo n\in\mathbb{N}, vale
x\in J_{n} \quad\Longrightarrow\quad a < x < a + \tfrac{1}{n}.

Passo 3

Da desigualdade a<x segue que
x - a > 0.

Passo 4

Pela propriedade arquimediana de \mathbb{R}, como x-a>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{N} < x - a.

Passo 5

Por outro lado, como x\in J_{N}, deve valer x < a + \tfrac{1}{N}, isto é,
x - a < \frac{1}{N}.
Isso contradiz a desigualdade obtida no passo anterior \tfrac{1}{N}<x-a.

Resposta

\emptyset

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