Dado
, considere os intervalos
, para cada
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá um número real
e define, para cada
, o intervalo aberto
Queremos mostrar que não existe nenhum ponto
que pertença a todos esses intervalos simultaneamente, isto é,
O conteúdo aqui envolve propriedades de conjuntos decrescentes em
e o uso da propriedade arquimediana dos reais.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista algum
. Então, para todo
, vale
Passo 3
Da desigualdade
segue que
Passo 4
Pela propriedade arquimediana de
, como
, existe
tal que
Passo 5
Por outro lado, como
, deve valer
, isto é,
Isso contradiz a desigualdade obtida no passo anterior
.