Em um dado instante, v=(-2,00 i+4,00 j-6,00 k) m / s é a velocidade de um próton em um campo magnético uniforme B=(2,00 i-4,00 j+8,00 k) m T. Para esse instante, determine o ângulo entre V e F.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um próton com uma velocidade $ \mathbf{v} = (-2,00, \mathbf{i} + 4,00, \mathbf{j} - 6,00, \mathbf{k}) , \mathrm{m/s} $ que está se movendo em um campo magnético uniforme $ \mathbf{B} = (2,00, \mathbf{i} - 4,00, \mathbf{j} + 8,00, \mathbf{k}) , \mathrm{T} $. A pergunta é: qual é o ângulo entre a velocidade $ \mathbf{v} $ e a força magnética $ \mathbf{F} $ que age sobre o próton? Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Lorentz, que descreve a força exercida por um campo magnético sobre uma partícula carregada em movimento. Vamos dividir a resolução em passos simples!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força magnética, também conhecida como Lei de Lorentz:
F = q , (v times B)
Aqui, $ q $ é a carga elétrica do próton, $ \mathbf{v} $ é a velocidade, e $ \mathbf{B} $ é o campo magnético. O símbolo $ \times $ representa o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 3

Vamos identificar a carga $ q $ do próton. Um próton tem carga positiva igual à carga elementar:
q
Isso vai nos ajudar a calcular a força magnética depois de encontrarmos o produto vetorial.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{v} \times \mathbf{B} $. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ \mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z) $ e $ \mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z) $ é dado por:
v times B
Aplicando isso aos nossos vetores $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{B} $:
A = (Ax, Ay, Az)
Calculando cada componente:
  • Componente $ \mathbf{i} $:
B = (Bx, By, Bz)
  • Componente $ \mathbf{j} $:
A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz = (Ay Bz - Az By)i - (Ax Bz - Az Bx)j + (Ax By - Ay Bx)k
  • Componente $ \mathbf{k} $:
v
Portanto:
B

Passo 5

Agora que temos $ \mathbf{v} \times \mathbf{B} $, podemos calcular a força magnética $ \mathbf{F} $:
v times B
Multiplicando cada componente pela carga:
F
F = q , (v times B) = (1,60 times 10^-19, C) times (8,00, i + 4,00, j + 0,00, k) , N

Passo 6

Agora, queremos encontrar o ângulo $ \theta $ entre os vetores $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{F} $. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
theta
Onde:
  • $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} $ é o produto escalar entre $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{F} $
  • $ |\mathbf{v}| $ é o módulo (ou comprimento) do vetor $ \mathbf{v} $
  • $ |\mathbf{F}| $ é o módulo do vetor $ \mathbf{F} $

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto escalar $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} $:
v cdot F
O produto escalar é zero, o que indica que os vetores são perpendiculares.

Passo 8

Como o produto escalar $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} = 0 $, o cosseno do ângulo $ \theta $ é zero:
v cdot F = 0
Isso significa que:
theta

Resposta

O ângulo entre a velocidade $ \mathbf{v} $ e a força magnética $ \mathbf{F} $ é de $ 90^\circ $.

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