Em um dado instante,
é a velocidade de um próton em um campo magnético uniforme
. Para esse instante, determine o ângulo entre V e F.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um próton com uma velocidade $ \mathbf{v} = (-2,00, \mathbf{i} + 4,00, \mathbf{j} - 6,00, \mathbf{k}) , \mathrm{m/s} $ que está se movendo em um campo magnético uniforme $ \mathbf{B} = (2,00, \mathbf{i} - 4,00, \mathbf{j} + 8,00, \mathbf{k}) , \mathrm{T} $. A pergunta é: qual é o ângulo entre a velocidade $ \mathbf{v} $ e a força magnética $ \mathbf{F} $ que age sobre o próton? Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Lorentz, que descreve a força exercida por um campo magnético sobre uma partícula carregada em movimento. Vamos dividir a resolução em passos simples!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força magnética, também conhecida como Lei de Lorentz:
Aqui, $ q $ é a carga elétrica do próton, $ \mathbf{v} $ é a velocidade, e $ \mathbf{B} $ é o campo magnético. O símbolo $ \times $ representa o produto vetorial entre dois vetores.
Passo 3
Vamos identificar a carga $ q $ do próton. Um próton tem carga positiva igual à carga elementar:
Isso vai nos ajudar a calcular a força magnética depois de encontrarmos o produto vetorial.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{v} \times \mathbf{B} $. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ \mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z) $ e $ \mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z) $ é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{B} $:
Calculando cada componente:
- Componente $ \mathbf{i} $:
- Componente $ \mathbf{j} $:
- Componente $ \mathbf{k} $:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos $ \mathbf{v} \times \mathbf{B} $, podemos calcular a força magnética $ \mathbf{F} $:
Multiplicando cada componente pela carga:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o ângulo $ \theta $ entre os vetores $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{F} $. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
- $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} $ é o produto escalar entre $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{F} $
- $ |\mathbf{v}| $ é o módulo (ou comprimento) do vetor $ \mathbf{v} $
- $ |\mathbf{F}| $ é o módulo do vetor $ \mathbf{F} $
Passo 7
Primeiro, calculamos o produto escalar $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} $:
O produto escalar é zero, o que indica que os vetores são perpendiculares.
Passo 8
Como o produto escalar $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} = 0 $, o cosseno do ângulo $ \theta $ é zero:
Isso significa que:
Resposta
O ângulo entre a velocidade $ \mathbf{v} $ e a força magnética $ \mathbf{F} $ é de $ 90^\circ $.