Num dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10 m e ele está crescendo a uma taxa de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o comprimento do outro cateto é 12 m o qual está crescendo a uma taxa de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ache a taxa de variação ao angulo oposto ao lado de 12 m .

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo retângulo cujos catetos a e b variam no tempo: num certo instante tem-se a=10 m com \dot a=1 m/s e b=12 m com \dot b=2 m/s. Pede-se a taxa de variação do ângulo \theta oposto ao cateto de comprimento b. O conteúdo envolve relacionadas de variações usando relações trigonométricas e derivação implícita.

Passo 2

Definimos \theta como o ângulo oposto a b. Nesse triângulo retângulo
\tan(\theta)=\frac{b}{a}.

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação ao tempo t. Pela regra da cadeia e da razão, obtemos
\operatorname{sec}^2(\theta)\,\dot\theta = \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr) = \frac{a\,\dot b - b\,\dot a}{a^2}.

Passo 4

Como \operatorname{sec}^2(\theta)=1+\tan^2(\theta)=1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}, isolamos \dot\theta:
\dot\theta = \frac{a^2}{a^2+b^2}\;\cdot\frac{a\,\dot b - b\,\dot a}{a^2} = \frac{a\,\dot b - b\,\dot a}{a^2 + b^2}.

Passo 5

Substituindo a=10, \dot a=1, b=12, \dot b=2:
a\,\dot b - b\,\dot a = 10\cdot2 - 12\cdot1 = 20 - 12 = 8,
a^2 + b^2 = 10^2 + 12^2 = 100 + 144 = 244,
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\dot\theta = \frac{8}{244} = \frac{2}{61}\\ \text{rad/s}.

Resposta

\displaystyle \dot\theta = \frac{2}{61}\\ \text{rad/s}

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