Num dado instante, um paralelepípedo reto-retângulo possui comprimento, largura e altura iguais a
e 120 cm , respectivamente. Nesse mesmo instante, a sua largura decresce a uma taxa de
e o seu comprimento e a sua altura aumentam a taxas de
e
, respectivamente. Calcule as taxas de variação do volume a da diagonal desse sólido.
Passo 1
O enunciado dá um paralelepípedo reto-retângulo com as medidas e taxas, num certo instante:
As perguntas são:
- Calcular a taxa de variação do volume, isto é
, naquele instante. - Calcular a taxa de variação da diagonal do sólido, isto é
, naquele instante.
Passo 2
Fórmula do volume e como derivar: o volume
de um paralelepípedo é o produto das três dimensões, portanto
Aqui
são funções do tempo
. Para encontrar
precisamos diferenciar um produto de três funções. Uma maneira clara de ver isso é aplicar a regra do produto em etapas (primeiro producto de
por
) ou lembrar a forma geral:
Explicação curta do porquê: se tratarmos
e diferenciarmos em relação a
, cada termo aparece multiplicando a derivada da variável respectiva (porque, por exemplo, variação em
afeta
na proporção de
, etc.). Essa é a aplicação do produto/derivação parcial de forma intuitiva.
Passo 3
Agora substituímos os valores numéricos na expressão de
.
Calculemos cada produto:
Multiplicando pelas taxas:
Somando os três termos:
Interpretação: naquele instante a soma das variações causa taxa nula — o volume está temporariamente constante. Unidade:
.
Passo 4
Fórmula da diagonal e como derivar: a diagonal
do paralelepípedo (a maior, que vai de um vértice ao oposto) é dada por
Para diferenciar, usamos a regra da cadeia: se
, então
Derivando
em relação a
obtemos
. Cancelando o
com o
resulta a forma compacta
Ou seja, a taxa de variação da raiz quadrada é o produto interno das grandezas com suas taxas dividido pelo valor da própria diagonal.
Passo 5
Agora substituímos os números.
Primeiro o numerador:
Somando:
Agora o valor da diagonal
no instante:
Simplificando,
Finalmente:
Valor aproximado (só para intuição):
então
. O sinal negativo indica que a diagonal está diminuindo naquele instante.