Num dado instante, um paralelepípedo reto-retângulo possui comprimento, largura e altura iguais a 60 \mathrm{~cm}, 80 \mathrm{~cm} e 120 cm , respectivamente. Nesse mesmo instante, a sua largura decresce a uma taxa de 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e o seu comprimento e a sua altura aumentam a taxas de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, respectivamente. Calcule as taxas de variação do volume a da diagonal desse sólido.

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo reto-retângulo com as medidas e taxas, num certo instante:
l=60\\ \mathrm{cm},\qquad w=80\\ \mathrm{cm},\qquad h=120\\ \mathrm{cm}
\frac{dl}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s},\qquad \frac{dw}{dt}=-5\\ \mathrm{cm/s},\qquad \frac{dh}{dt}=1\\ \mathrm{cm/s}.
As perguntas são:
  1. Calcular a taxa de variação do volume, isto é \dfrac{dV}{dt}, naquele instante.
  2. Calcular a taxa de variação da diagonal do sólido, isto é \dfrac{dD}{dt}, naquele instante.

Passo 2

Fórmula do volume e como derivar: o volume V de um paralelepípedo é o produto das três dimensões, portanto
V = lwh.
Aqui l,w,h são funções do tempo t. Para encontrar \dfrac{dV}{dt} precisamos diferenciar um produto de três funções. Uma maneira clara de ver isso é aplicar a regra do produto em etapas (primeiro producto de l por wh) ou lembrar a forma geral:
\frac{d}{dt}(lwh)=wh\frac{dl}{dt}+lh\frac{dw}{dt}+lw\frac{dh}{dt}.
Explicação curta do porquê: se tratarmos V(l,w,h) e diferenciarmos em relação a t, cada termo aparece multiplicando a derivada da variável respectiva (porque, por exemplo, variação em l afeta V na proporção de wh, etc.). Essa é a aplicação do produto/derivação parcial de forma intuitiva.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos na expressão de \dfrac{dV}{dt}.
Calculemos cada produto:
wh = 80\cdot 120 = 9600,
lh = 60\cdot 120 = 7200,
lw = 60\cdot 80 = 4800.
Multiplicando pelas taxas:
wh\frac{dl}{dt}=9600\cdot 3 = 28800,
lh\frac{dw}{dt}=7200\cdot(-5) = -36000,
lw\frac{dh}{dt}=4800\cdot 1 = 4800.
Somando os três termos:
\frac{dV}{dt}=28800-36000+4800=0.
Interpretação: naquele instante a soma das variações causa taxa nula — o volume está temporariamente constante. Unidade: \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.

Passo 4

Fórmula da diagonal e como derivar: a diagonal D do paralelepípedo (a maior, que vai de um vértice ao oposto) é dada por
D=\sqrt{l^2+w^2+h^2}.
Para diferenciar, usamos a regra da cadeia: se D=(\text{expressão})^{1/2}ã, então
\frac{dD}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{l^2+w^2+h^2}}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(l^2+w^2+h^2\bigr).
Derivando l^2+w^2+h^2 em relação a t obtemos 2l\frac{dl}{dt}+2w\frac{dw}{dt}+2h\frac{dh}{dt}. Cancelando o 2 com o 1/2 resulta a forma compacta
\frac{dD}{dt}=\frac{l\frac{dl}{dt}+w\frac{dw}{dt}+h\frac{dh}{dt}}{D}.
Ou seja, a taxa de variação da raiz quadrada é o produto interno das grandezas com suas taxas dividido pelo valor da própria diagonal.

Passo 5

Agora substituímos os números.
Primeiro o numerador:
l\frac{dl}{dt}=60\cdot 3 = 180,
w\frac{dw}{dt}=80\cdot(-5) = -400,
h\frac{dh}{dt}=120\cdot 1 = 120.
Somando:
l\frac{dl}{dt}+w\frac{dw}{dt}+h\frac{dh}{dt}=180-400+120=-100.
Agora o valor da diagonal D no instante:
D=\sqrt{60^2+80^2+120^2}=\sqrt{3600+6400+14400}=\sqrt{24400}.
Simplificando,
\sqrt{24400}=10\sqrt{244}=10\cdot 2\sqrt{61}=20\sqrt{61}\\ \mathrm{cm}.
Finalmente:
\frac{dD}{dt}=\frac{-100}{20\sqrt{61}}=-\frac{5}{\sqrt{61}}\\ \mathrm{cm/s}.
Valor aproximado (só para intuição): \sqrt{61}\approx 7{,}81 então \dfrac{dD}{dt}\approx -0{,}64\\ \mathrm{cm/s}. O sinal negativo indica que a diagonal está diminuindo naquele instante.

Resposta

\dfrac{dV}{dt}=0\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}
\dfrac{dD}{dt}=-\dfrac{5}{\sqrt{61}}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}

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