Dado um inteiro
, prove que
é ímpar se, e somente se,
é ímpar.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que, para um número inteiro
,
é ímpar se, e somente se,
é ímpar. Isso envolve conceitos da teoria dos números, especificamente as propriedades de números pares e ímpares. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número ser par ou ímpar e como essas propriedades se comportam ao elevarmos o número ao cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar. Um número inteiro
é ímpar se pode ser escrito como
, onde
é algum inteiro. Nosso objetivo é mostrar duas coisas:
- Se
é ímpar, então é ímpar. - Se
é ímpar, então é ímpar.
Ao provar essas duas afirmações, estaremos completando a prova “se e somente se”.
Passo 3
1. Se
é ímpar, então
é ímpar.
Assumimos que
é ímpar, então por definição,
para algum inteiro
.
Calculando
:
Observamos que
é múltiplo de 2, ou seja, par. Portanto,
, onde
é algum inteiro. Isso mostra que
é ímpar.
Passo 4
2. Se
é ímpar, então
é ímpar.
Vamos usar o método da contrapositiva. A contrapositiva de “se
é ímpar, então
é ímpar” é “se
é par, então
é par”.
Assumimos que
é par, então pode ser escrito como
, onde
é inteiro.
Calculando
:
Como
é múltiplo de 2, ele é par. Portanto, se
é ímpar, então
não pode ser par, ou seja,
é ímpar.
Resposta
Portanto, mostramos que
é ímpar se, e somente se,
é ímpar.