Prove que, se a, b e d são inteiros tais que d | a e d | b, então, para quaisquer inteiros m e n, tem-se que d | a m - b n.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Matemática que fala sobre divisibilidade de números inteiros. A questão diz que se divide e divide , precisamos provar que para quaisquer números inteiros e , também divide . Vamos usar propriedades da divisibilidade e álgebra básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que divide . Isso quer dizer que existe um número inteiro tal que . Do mesmo jeito, como divide , existe um inteiro onde .

Passo 3

Agora, vamos substituir e nas expressões e usando as igualdades que encontramos:

Passo 4

Subtraindo essas duas expressões, temos:
Fatorando o em comum, fica:

Passo 5

Observamos agora que é um número inteiro, já que e são todos inteiros. Vamos chamar esse número de , ou seja, .

Passo 6

Assim, podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
Isso mostra que é um múltiplo de .

Resposta

Portanto, mostramos que divide .

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