Prove que, se
e
são inteiros tais que
e
, então, para quaisquer inteiros
e
, tem-se que
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Matemática que fala sobre divisibilidade de números inteiros. A questão diz que se
divide
e
divide
, precisamos provar que para quaisquer números inteiros
e
,
também divide
. Vamos usar propriedades da divisibilidade e álgebra básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
divide
. Isso quer dizer que existe um número inteiro
tal que
. Do mesmo jeito, como
divide
, existe um inteiro
onde
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
nas expressões
e
usando as igualdades que encontramos:
Passo 4
Subtraindo essas duas expressões, temos:
Fatorando o
em comum, fica:
Passo 5
Observamos agora que
é um número inteiro, já que
e
são todos inteiros. Vamos chamar esse número de
, ou seja,
.
Passo 6
Assim, podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
Isso mostra que
é um múltiplo de
.
Resposta
Portanto, mostramos que
divide
.