Dado \mathbf{E}=400 \cos \left(\quad 10^{6} \mathrm{t}-\beta \mathrm{z}\right) \mathbf{a}_{\mathbf{y}} \mathrm{V} / \mathrm{m} no vácuo, use as equações de Maxwell para encontrar \beta e o campo magnético H. Ache a densidade de corrente de deslocamento.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo elétrico no vácuo
\mathbf{E}=400\cos\!\left(10^{6}t-\beta z\right)\mathbf{a}_y\\ \text{V/m}.
O que é pedido:
  • Encontrar o valor de \beta (constante de propagação, em \text{rad/m}).
  • Encontrar o campo magnético \mathbf{H} correspondente (em A/m).
  • Calcular a densidade de corrente de deslocamento \mathbf{J}_d (em A/m ^2).
Informações úteis explícitas do enunciado:
  • O meio é o vácuo (logo \varepsilon=\varepsilon_0 e \mu=\mu_0 e não há condutividade).
  • A dependência temporal é \cos(10^{6}t-\beta z), ou seja, \omega=10^{6}\\ \text{rad/s}.
  • O campo elétrico está orientado ao longo de \mathbf{a}_y e a fase depende de z, logo a onda se propaga ao longo de +z.

Passo 2

Principais equações de Maxwell que vamos usar (no vácuo) e comentários didáticos:
\begin{aligned} &\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\\[4pt] &\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \quad (\text{sem corrente de condução}),\\[4pt] &\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E},\qquad \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}. \end{aligned}çã
Explicação curta e prática:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m}).
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}).
  • A velocidade da luz no vácuo é c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\approx 3\times10^{8}\\ \text{m/s}.
  • A impedância intrínseca do vácuo é \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 377\\ \Omega.
Relação fundamental para onda plana no vácuo:
\beta=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\frac{\omega}{c}.
Comentário: essa expressão vem diretamente das equações de Maxwell aplicadas a uma onda plana (pode obter-se combinando as duas equações de curl para obter a equação de onda; o resultado é k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon} com k\equiv\beta).]

Passo 3

Calcular \beta usando \omega=10^{6}\\ \text{rad/s} e c\approx 3\times10^{8}\\ \text{m/s}:
\beta=\frac{\omega}{c}=\frac{10^{6}}{3\times10^{8}}=\frac{1}{300}\\ \text{rad/m}=3{,}333\ldots\times10^{-3}\\ \text{rad/m}.
Podemos também deixar a forma simbólica exata:
\beta=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.

Passo 4

Relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H} para uma onda plana no vácuo:
  • No domínio do tempo, para uma onda que se propaga em +z com campo elétrico em y, o campo magnético está em x (perpendicular a ambos).
  • A relação vetorial é
\mathbf{H}=\frac{1}{\eta_0}\,\hat{k}\times\mathbf{E},
onde \hat{k} é o versor de propagação (aqui \hat{k}=\mathbf{a}_z) e \eta_0 é a impedância do vácuo.
Calcule o produto vetorial:
\mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_y=-\mathbf{a}_x.
Portanto, usando \mathbf{E}=400\cos(10^{6}t-\beta z)\mathbf{a}_y,
\mathbf{H}=\frac{1}{\eta_0}\,\mathbf{a}_z\times\big(400\cos(10^{6}t-\beta z)\mathbf{a}_y\big) =-\frac{400}{\eta_0}\cos(10^{6}t-\beta z)\,\mathbf{a}_x.
Comentário didático rápido: a direção de \mathbf{H} é tal que \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponta para \mathbf{a}_z, isto é, o vetor de Poynting (direção de propagação de energia) fica alinhado com +z, compatível com a fase (10^{6}t-\beta z).

Passo 5

Avaliar numericamente a amplitude de \mathbf{H}. Usando \eta_0\approx 377\\ \Omega:
\frac{400}{\eta_0}\approx\frac{400}{377}\approx 1{,}061\\ \text{A/m}.
Logo
\mathbf{H}\approx -1{,}061\cos(10^{6}t-\beta z)\,\mathbf{a}_x\\ \text{A/m}.

Passo 6

Densidade de corrente de deslocamento \mathbf{J}_d:
\mathbf{J}_d=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Calcule a derivada temporal de \mathbf{E}:
\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=400\frac{\partial}{\partial t}\cos(10^{6}t-\beta z)\,\mathbf{a}_y =-400\omega\sin(10^{6}t-\beta z)\,\mathbf{a}_y,
com \omega=10^{6}. Assim
\mathbf{J}_d=-\varepsilon_0(400\cdot10^{6})\sin(10^{6}t-\beta z)\,\mathbf{a}_y.
Agora o valor numérico do coeficiente: \varepsilon_0\cdot 400\cdot10^{6}=400\times10^{6}\times 8{,}854\times10^{-12}\approx 3{,}542\times10^{-3}.
Portanto
\mathbf{J}_d\approx -3{,}542\times10^{-3}\sin(10^{6}t-\beta z)\,\mathbf{a}_y\\ \text{A/m}^2.

Resposta

\beta=\dfrac{\omega}{c}=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\dfrac{10^{6}}{3\times10^{8}}=3{,}333\ldots\times10^{-3}\\ \text{rad/m}\n
\mathbf{H}=-\dfrac{400}{\eta_0}\cos\!\left(10^{6}t-\beta z\right)\mathbf{a}_x\approx -1{,}061\cos\!\left(10^{6}t-\beta z\right)\mathbf{a}_x\\ \text{A/m}\n
\mathbf{J}_d=\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=-\varepsilon_0(400\cdot10^{6})\sin\!\left(10^{6}t-\beta z\right)\mathbf{a}_y\approx -3{,}542\times10^{-3}\sin\!\left(10^{6}t-\beta z\right)\mathbf{a}_y\\ \text{A/m}^2

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