Dado
no vácuo, use as equações de Maxwell para encontrar
e o campo magnético H. Ache a densidade de corrente de deslocamento.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo elétrico no vácuo
O que é pedido:
- Encontrar o valor de
(constante de propagação, em ). - Encontrar o campo magnético
correspondente (em A/m). - Calcular a densidade de corrente de deslocamento
(em A/m ).
Informações úteis explícitas do enunciado:
- O meio é o vácuo (logo
e e não há condutividade). - A dependência temporal é
, ou seja, . - O campo elétrico está orientado ao longo de
e a fase depende de , logo a onda se propaga ao longo de .
Passo 2
Principais equações de Maxwell que vamos usar (no vácuo) e comentários didáticos:
Explicação curta e prática:
-
é a permissividade do vácuo ( ). -
é a permeabilidade do vácuo ( ). - A velocidade da luz no vácuo é
. - A impedância intrínseca do vácuo é
.
Relação fundamental para onda plana no vácuo:
Comentário: essa expressão vem diretamente das equações de Maxwell aplicadas a uma onda plana (pode obter-se combinando as duas equações de curl para obter a equação de onda; o resultado é
com
).]
Passo 3
Calcular
usando
e
:
Podemos também deixar a forma simbólica exata:
Passo 4
Relação entre
e
para uma onda plana no vácuo:
- No domínio do tempo, para uma onda que se propaga em
com campo elétrico em , o campo magnético está em (perpendicular a ambos). - A relação vetorial é
onde
é o versor de propagação (aqui
) e
é a impedância do vácuo.
Calcule o produto vetorial:
Portanto, usando
,
Comentário didático rápido: a direção de
é tal que
aponta para
, isto é, o vetor de Poynting (direção de propagação de energia) fica alinhado com
, compatível com a fase
.
Passo 5
Avaliar numericamente a amplitude de
. Usando
:
Logo
Passo 6
Densidade de corrente de deslocamento
:
Calcule a derivada temporal de
:
com
. Assim
Agora o valor numérico do coeficiente:
.
Portanto
Portanto