Dado \mathrm{b}=(1,2,1), determine a tal que a é ortogonal ao eixo Ze a \mathrm{x} \mathrm{b}=(1,1,1). Determine \mathrm{v}=(x, y, z) tal que (x, y, z) \times(1,2,-1)=(1,1,3) e (x, y, z) \cdot(3,1,1)=3.

Passo 1

O enunciado trata de duas partes:
1. Dado \mathbf b=(1,2,1), determinar \mathbf a tal que \mathbf a seja ortogonal ao eixo Z e satisfaça
\mathbf a \times \mathbf b = (1,1,1).
2. Determinar \mathbf v=(x,y,z) que verifique
\mathbf v \times (1,2,-1) = (1,1,3) \quad\text{e}\quad \mathbf v \cdot (3,1,1) = 3.
O conteúdo principal é produto vetorial (para igualar componentes) e produto escalar.

Passo 2

Para a primeira parte, “ \mathbf a ortogonal ao eixo Z” significa
\mathbf a\cdot(0,0,1)=0 \quad\Longrightarrow\quad a_z=0.
Escrevemos \mathbf a=(a_x,a_y,0). O produto vetorial com \mathbf b=(1,2,1) é
\mathbf a\times\mathbf b =\bigl(a_y\cdot1-0\cdot2,\;0\cdot1-a_x\cdot1,\;a_x\cdot2-a_y\cdot1\bigr) =(a_y,\,-a_x,\;2a_x-a_y).
Queremos isso igual a (1,1,1).

Passo 3

Comparando componentes de
(a_y,\,-a_x,\;2a_x-a_y) = (1,1,1)
obtém-se o sistema
\begin{cases} a_y = 1,\\\\ -\,a_x = 1,\\\\ 2a_x - a_y = 1. \end{cases}
Das duas primeiras equações segue a_y=1 e a_x=-1. Mas na terceira teríamos
2(-1)-1 = -3 \neq 1,
logo o sistema é inconsistente. Concluímos que não existe \mathbf a com as propriedades dadas.

Passo 4

Na segunda parte, seja \mathbf v=(x,y,z). O produto vetorial \mathbf v\times(1,2,-1)=(1,1,3) dá, em cada componente,
\begin{cases} y\cdot(-1)-z\cdot2 = 1,\\\ z\cdot1 - x\cdot(-1) = 1,\\\ x\cdot2 - y\cdot1 = 3. \end{cases}
Isto é
\begin{cases} -\,y - 2z = 1,\\\ x + z = 1,\\\\ 2x - y = 3. \end{cases}

Passo 5

Temos também a condição escalar
\mathbf v\cdot(3,1,1)=3x+y+z=3.
Do segundo sistema x+z=1 vem z=1-x. Da terceira equação 2x-y=3 vem y=2x-3. Substituindo em
3x + y + z = 3
temos
3x + (2x-3) + (1-x) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5x -3 +1 - x = 3 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{5}{4}.
Logo
y = 2\Bigl(\tfrac{5}{4}\Bigr) - 3 = \tfrac{5}{2}-3 = -\tfrac12, \quad z = 1 - \tfrac{5}{4} = -\tfrac14.

Resposta

Não existe \mathbf a satisfazendo a primeira parte, e
\mathbf v = \Bigl(\tfrac{5}{4},\, -\tfrac12,\, -\tfrac14\Bigr).

Exercícios relacionados