Dado um triângulo \triangle A B C e O um ponto qualquer, mostre que a área A do triângulo \triangle A B C é:
\begin{aligned} A & =\frac{1}{2}\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}+\mathbf{b} \times \mathbf{c}+\mathbf{c} \times \mathbf{a}\| \\ \text { sendo } \mathbf{a}=\overrightarrow{O A}, \mathbf{b} & =\overrightarrow{O B} \text { e } \mathbf{c}=\overrightarrow{O C} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo \triangle ABC e um ponto qualquer O, definindo os vetores \mathbf{a}=\overrightarrow{OA}, \mathbf{b}=\overrightarrow{OB} e \mathbf{c}=\overrightarrow{OC}.
Queremos mostrar que
A = \tfrac12\bigl\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}\bigr\|
onde A é a área de \triangle ABC.

Passo 2

No plano, os vetores dos lados que partem de A são \overrightarrow{AB} = \mathbf{b}-\mathbf{a} e \overrightarrow{AC} = \mathbf{c}-\mathbf{a}.

Passo 3

Sabemos que a área de um triângulo é metade do módulo do produto vetorial dos vetores que formam dois de seus lados, isto é,
A = \tfrac12\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \tfrac12\bigl\|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a})\bigr\|.

Passo 4

Expandindo o produto vetorial por distributividade, temos
(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a}) = \mathbf{b}\times\mathbf{c} - \mathbf{b}\times\mathbf{a} - \mathbf{a}\times\mathbf{c} + \mathbf{a}\times\mathbf{a}.

Passo 5

Note que \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0} e use a anticomutatividade \mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\mathbf{a}\times\mathbf{b}, \mathbf{a}\times\mathbf{c}=-\mathbf{c}\times\mathbf{a}.
Assim
(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a}) = \mathbf{b}\times\mathbf{c} + \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{c}\times\mathbf{a} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}.

Passo 6

Substituindo esse resultado em A = \tfrac12\|\cdot\|, concluímos
A = \frac12\bigl\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}\bigr\|.

Resposta

A = \frac12\bigl\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}\bigr\|.

Exercícios relacionados