Dado
, chama-se aplicação idêntica de
a aplicação
dada pela lei
, para todo
. Além disso, para cada
existe uma aplicação idêntica
e ainda, se
então
, por terem diferentes domínios.
Demonstre:
a) Se
é bijetora então
e
.
b) Se
e
então
e
,
c) Se
e
e
então
e
são bijetoras e
.
a) Se
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado fornece:
- Um conjunto não vazio
e, para cada conjunto , a aplicação identidade definida por para todo . - Duas aplicações genéricas
e . Pode haver o caso especial de bijetora com inversa .
O que se pede demonstrar:
a) Se é bijetora então
e
.
b) Para e
provar que
,
,
e
.
c) Se e
satisfazem
e
então mostrar que
e
são bijetoras e que
.
a) Se
b) Para
c) Se
Passo 2
Conceitos e lembretes úteis (explicados de forma prática):
- Definição de composição: para
e a composição é dada por
para todo
. É essencial que o contradomínio de
seja o domínio de
.
- Identidade:
satisfaz para todo . Intuitivamente, a identidade não altera elementos. - Inversa e bijeção:
é bijetora se é injetora (sem colisões: ) e sobrejetora (todo tem pré-imagem). A inversa satisfaz, por definição,
Essas duas igualdades são exatamente as relações que caracterizam a inversa.
Dica para a prova: as igualdades entre funções são verificadas elemento a elemento: duas funções
com mesmo domínio e contradomínio são iguais se e somente se
para todo
do domínio.
Passo 3
Prova de (a). Seja
bijetora e
sua inversa. Vamos verificar
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Pela propriedade da inversa temos
Por definição de composição,
. Então
Como isso vale para todo
, concluímos que as funções coincidem:
Agora verifiquemos
. Tomemos
. Pela propriedade da inversa,
Pelo mesmo raciocínio de composição,
, logo
Como vale para todo
, obtemos
Comentário prático: no exame, ao ver "mostrar
", basta pegar um
e usar a definição de inversa; é direto e elementar.
Passo 4
Prova de (b). Queremos mostrar que compor qualquer função com a identidade adequada não altera a função. Primeiro atenção às compatibilidades de domínios:
-
e podem compor . -
e podem compor . - Para
valem análogos: e .
Mostremos cada igualdade elemento a elemento.
- Para todo
,
pois
. Logo
.
- Para todo
,
pois
deixa qualquer elemento de
igual a si mesmo. Logo
.
- Para todo
,
portanto
.
- Para todo
,
logo
.
Essas quatro igualdades são simples aplicações da definição de identidade e composição; sempre verifique compatibilidade de domínios antes de compor.
Passo 5
Prova de (c). Suponha
e
tais que
Mostraremos primeiro que
é injetora. Seja
com
. Aplicando
aos dois lados:
Pela hipótese
isso dá
ou seja
. Portanto
é injetora.
Agora mostraremos que
é sobrejetora. Seja
arbitrário. Usando
obtemos
Assim
é imagem de
por
, logo todo
tem pré-imagem em
. Portanto
é sobrejetora. Juntando injetividade e sobrejetividade,
é bijeção.
Pelo mesmo argumento (ou usando simetria das hipóteses) conclui-se que
também é bijeção: a composição
e
garantem que
é injetora e sobrejetora.
Finalmente, mostramos que
é a inversa de
. Como
é bijetora, existe uma única função inversa
que satisfaz
Mas
já satisfaz essas duas mesmas equalidades por hipótese (note que a hipótese dá diretamente
e
). A inversa de uma bijeção é única: para ver isso rápida e diretamente, suponha
também inversa de
; então
Logo
. Aplicando isso com
obtemos
.
Portanto
e
são bijetoras e
.
Resposta
a)
e
b)
c)
e
são bijetoras e