Tarefa Matemática 2 (OBMEP)

A calculadora do Dodô tem uma tecla especial com o símbolo \eta. Se o visor mostra um número x diferente de 2, ao apertar \eta aparece o valor de \frac{2 x-3}{x-2}.
a) Se Dodô colocar 4 no visor e apertar \eta, qual número vai aparecer?
b) Dodô colocou um número no visor e, ao apertar \eta, apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor?
c) Dodô percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando \eta duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando a duas vezes, aparece de novo o 5 . O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2 ? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que a tecla \eta transforma um número x (com x\neq2) em
\eta(x)=\frac{2x-3}{x-2}.
As perguntas são:
  • (a) Se Dodô colocar 4 no visor e apertar \eta, qual número aparece?
  • (b) Para quais números x (diferentes de 2) vale \eta(x)=x? Ou seja, quais números permanecem iguais após apertar \eta (pontos fixos)?
  • (c) Observou-se que \eta(\eta(4))=4 e \eta(\eta(5))=5. A mesma propriedade (apertar \eta duas vezes retornar ao número inicial) vale para qualquer número diferente de 2? Explicar.

Passo 2

Resolver (a): aplicar a regra diretamente com x=4. Substituir x na fórmula de \eta:
\eta(4)=\frac{2\cdot 4-3}{4-2}.
Calcule passo a passo os numeradores e denominadores:
2\cdot 4-3=8-3=5, \qquad 4-2=2.
Logo
\eta(4)=\frac{5}{2}.

Passo 3

Explicando o que pedem em (b) e a estratégia: dizer que queremos os pontos fixos da função \eta, isto é, resolver a equação
\eta(x)=x.
Isto significa resolver
\frac{2x-3}{x-2}=x,
com a condição x\neq2. A ideia é eliminar o denominador e obter uma equação polinomial que dá os candidatos.

Passo 4

Resolver a equação de pontos fixos. Multiplicar ambos os lados por x-2 (permitido porque já sabemos x\neq2):
2x-3 = x(x-2).
Desenvolver o lado direito:
2x-3 = x^2 -2x.
Trazer todos os termos para um lado para obter um polinômio igual a zero:
0 = x^2 -2x -2x +3,
ou seja
0 = x^2 -4x +3.

Passo 5

Resolver a equação quadrática x^2-4x+3=0. Procuramos fatores que multiplicados deem 3 e somados dêem -4. Esses números são -1 e -3. Então fatoramos:
x^2-4x+3=(x-1)(x-3).
Portanto as soluções são x=1 e x=3. Ambas satisfazem a condição x\neq2, então são válidas. Conclusão provisória para (b): os números que permanecem iguais ao apertar \eta são 1 e 3.

Passo 6

Preparação para (c): agora precisamos estudar o efeito de apertar \eta duas vezes, isto é, calcular \eta(\eta(x)) e ver se isso é igual a x para todo x\neq2. Conceito rápido: \eta(\eta(x)) significa primeiro calcular y=\eta(x) e depois calcular \eta(y). Vamos fazer a conta algébrica explícita para ver se sempre volta x.

Passo 7

Calcular \eta(\eta(x)). Defina y=\eta(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}. Então
\eta(\eta(x))=\eta(y)=\frac{2y-3}{y-2}.
Substituir y pelo valor em termos de x. Primeiro calcule 2y-3 substituindo y:
2y-3=2\cdot\frac{2x-3}{x-2}-3.
Colocar em uma única fração com denominador x-2:
2y-3=\frac{4x-6}{x-2}-\frac{3(x-2)}{x-2}=\frac{4x-6-3x+6}{x-2}=\frac{x}{x-2}.
Agora calcule y-2:
y-2=\frac{2x-3}{x-2}-2=\frac{2x-3-2(x-2)}{x-2}=\frac{2x-3-2x+4}{x-2}=\frac{1}{x-2}.
Portanto
\eta(\eta(x))=\frac{2y-3}{y-2}=\frac{\dfrac{x}{x-2}}{\dfrac{1}{x-2}}.
Dividir frações com o mesmo denominador cancela o denominador:
\eta(\eta(x))=x.

Passo 8

Analisar domínio e possíveis exceções: ao longo das contas usamos a condição x\neq2 para não dividir por zero. Também seria preciso garantir que o valor intermediário y=\eta(x) não seja 2, pois aí \eta(y) ficaria indefinida; mas resolvendo a equação \eta(x)=2 vê-se que não há solução:
\frac{2x-3}{x-2}=2\quad\Rightarrow\quad 2x-3=2x-4\quad\Rightarrow\quad -3=-4,
o que é impossível. Logo não existe x com x\neq2 que produza y=2. Assim, para todo x\neq2 a composição \eta(\eta(x)) está bem definida e vale exatamente x.

Passo 9

Interpretação final e resposta para (c): a função dada por \eta tem a propriedade de que, aplicada duas vezes, devolve o número inicial para qualquer x\neq2. Em termos intuitivos, isso significa que \eta é a sua própria inversa: a primeira aplicação transforma x num outro número y e a segunda aplicação reconstrói x. Isto explica porque \eta(\eta(4))=4 e \eta(\eta(5))=5 e mostra que o mesmo acontece para todo número diferente de 2.

Resposta

(a) \dfrac{5}{2}
(b) 1 e 3
(c) Sim. Para todo x\neq2 vale \eta(\eta(x))=x.

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