Tarefa Matemática 2 (OBMEP)
A calculadora do Dodô tem uma tecla especial com o símbolo
. Se o visor mostra um número x diferente de 2, ao apertar
aparece o valor de
.
a) Se Dodô colocar 4 no visor e apertar
, qual número vai aparecer?
b) Dodô colocou um número no visor e, ao apertar
, apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor?
c) Dodô percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando
duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando a duas vezes, aparece de novo o 5 . O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2 ? Explique.
a) Se Dodô colocar 4 no visor e apertar
b) Dodô colocou um número no visor e, ao apertar
c) Dodô percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando
Passo 1
O enunciado diz que a tecla
transforma um número
(com
) em
As perguntas são:
- (a) Se Dodô colocar
no visor e apertar , qual número aparece? - (b) Para quais números
(diferentes de ) vale ? Ou seja, quais números permanecem iguais após apertar (pontos fixos)? - (c) Observou-se que
e . A mesma propriedade (apertar duas vezes retornar ao número inicial) vale para qualquer número diferente de ? Explicar.
Passo 2
Resolver (a): aplicar a regra diretamente com
. Substituir
na fórmula de
:
Calcule passo a passo os numeradores e denominadores:
Logo
Passo 3
Explicando o que pedem em (b) e a estratégia: dizer que queremos os pontos fixos da função
, isto é, resolver a equação
Isto significa resolver
com a condição
. A ideia é eliminar o denominador e obter uma equação polinomial que dá os candidatos.
Passo 4
Resolver a equação de pontos fixos. Multiplicar ambos os lados por
(permitido porque já sabemos
):
Desenvolver o lado direito:
Trazer todos os termos para um lado para obter um polinômio igual a zero:
ou seja
Passo 5
Resolver a equação quadrática
. Procuramos fatores que multiplicados deem
e somados dêem
. Esses números são
e
. Então fatoramos:
Portanto as soluções são
e
. Ambas satisfazem a condição
, então são válidas. Conclusão provisória para (b): os números que permanecem iguais ao apertar
são
e
.
Passo 6
Preparação para (c): agora precisamos estudar o efeito de apertar
duas vezes, isto é, calcular
e ver se isso é igual a
para todo
. Conceito rápido:
significa primeiro calcular
e depois calcular
. Vamos fazer a conta algébrica explícita para ver se sempre volta
.
Passo 7
Calcular
. Defina
. Então
Substituir
pelo valor em termos de
. Primeiro calcule
substituindo
:
Colocar em uma única fração com denominador
:
Agora calcule
:
Portanto
Dividir frações com o mesmo denominador cancela o denominador:
Passo 8
Analisar domínio e possíveis exceções: ao longo das contas usamos a condição
para não dividir por zero. Também seria preciso garantir que o valor intermediário
não seja
, pois aí
ficaria indefinida; mas resolvendo a equação
vê-se que não há solução:
o que é impossível. Logo não existe
com
que produza
. Assim, para todo
a composição
está bem definida e vale exatamente
.
Passo 9
Interpretação final e resposta para (c): a função dada por
tem a propriedade de que, aplicada duas vezes, devolve o número inicial para qualquer
. Em termos intuitivos, isso significa que
é a sua própria inversa: a primeira aplicação transforma
num outro número
e a segunda aplicação reconstrói
. Isto explica porque
e
e mostra que o mesmo acontece para todo número diferente de
.
Resposta
(a)
(b)
e
(c) Sim. Para todo
vale
.