Dado \operatorname{sen} x=-24 / 25, x no terceiro quadrante, calcule \operatorname{sen} \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2} e \operatorname{tg} \frac{x}{2}.

Passo 1

O enunciado diz que \sin x = -\tfrac{24}{25} e que x está no terceiro quadrante. Precisamos encontrar \sin\frac{x}{2}, \cos\frac{x}{2} e \tan\frac{x}{2}. Vamos usar primeiro a identidade pitagórica para achar \cos x e depois aplicar as fórmulas de meio-ângulo, cuidando do sinal conforme o quadrante de x/2.

Passo 2

Pela identidade
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
temos
\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} = \pm \sqrt{1 - \frac{576}{625}} = \pm \frac{7}{25}.
Como x está no terceiro quadrante, \cos x é negativo. Logo
\cos x = -\frac{7}{25}.

Passo 3

Se x\in(\pi,3\pi/2), então
\frac{x}{2}\in\bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4}\bigr),
ou seja, x/2 está no segundo quadrante. Portanto \sin\frac{x}{2}>0 e \cos\frac{x}{2}<0.

Passo 4

Usando as fórmulas de meio-ângulo:
\sin\frac{x}{2} = +\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \bigl(-\tfrac{7}{25}\bigr)}{2}} = \sqrt{\frac{32/25}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5},
\cos\frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \bigl(-\tfrac{7}{25}\bigr)}{2}} = -\sqrt{\frac{18/25}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}.

Passo 5

Para \tan\frac{x}{2} podemos usar
\tan\frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{-\tfrac{24}{25}}{1 + \bigl(-\tfrac{7}{25}\bigr)} = \frac{-\tfrac{24}{25}}{\tfrac{18}{25}} = -\frac{24}{18} = -\frac{4}{3}.

Resposta

\sin\frac{x}{2} = \frac{4}{5} \cos\frac{x}{2} = -\frac{3}{5} \tan\frac{x}{2} = -\frac{4}{3}

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