Calcule y=\frac{1}{\operatorname{sen} 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
y = \frac{1}{\sin 10^\circ} \;-\;\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}.
O conteúdo aqui são identidades trigonométricas: vamos colocar em denominar comum e usar fórmulas de soma de ângulos e de \sin 2\alpha.

Passo 2

Colocando as duas parcelas sobre o mesmo denominador \sin 10^\circ\cos 10^\circ, temos
y = \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3}\,\sin 10^\circ}{\sin 10^\circ\cos 10^\circ}.

Passo 3

No numerador, fatoramos 2 e reconhecemos uma fórmula de cosseno de soma:
\cos 10^\circ - \sqrt{3}\,\sin 10^\circ = 2\bigl(\cos 10^\circ\cos 60^\circ - \sin 10^\circ\sin 60^\circ\bigr) = 2\cos(10^\circ + 60^\circ) = 2\cos 70^\circ = 2\sin 20^\circ.

Passo 4

No denominador, usamos a fórmula de ângulo duplo para o seno:
\sin 10^\circ\cos 10^\circ = \tfrac12\sin(2\cdot10^\circ) = \tfrac12\sin 20^\circ.

Passo 5

Substituindo essas expressões em y, obtemos
y = \frac{2\sin 20^\circ}{\tfrac12\sin 20^\circ} = 4.

Resposta

4

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