com p>0 e 0<a<\sqrt{p}, e pede \lim_{n\to\infty}a_{n}. O conteúdo envolve teoria de sequências: mostrar que \{a_{n}\} é monótona e limitada, concluir convergência e achar o ponto fixo.
Passo 2
Primeiro, notamos que a_{1}>0 e, se a_{n}>0, então
a_{n+1}=\frac{2p\,a_{n}}{p+a_{n}^{2}}>0.
Logo, por indução, a_{n}>0 para todo n.
Passo 3
Mostramos que \{a_{n}\} é crescente enquanto a_{n}<\sqrt{p}. Para 0<x<\sqrt{p}, defina
o que é sempre verdadeiro quando x\neq\sqrt{p}. Assim, a_{n+1}=f(a_{n})<\sqrt{p} sempre que a_{n}<\sqrt{p}.
Passo 5
Concluímos que \{a_{n}\} é crescente e limitada acima por \sqrt{p}, logo converge para algum L\in(0,\sqrt{p}]. Tomando limite na relação de recorrência, temos