(ENADE-2011, adaptada) Considere a sequência numérica
\left\{\begin{array}{ccc} a_{1} & = & a \\\ a_{n+1} & = & \frac{4 a_{n}}{2+a_{n}^{2}} \quad, \text { para } n \geq 1 \end{array}\right.
onde a é número fixado tal que 0<a<\sqrt{2}.
(a) Use indução matemática para mostrar que 0<a_{n}<\sqrt{2} para todo n \in \mathbb{N}.
(b) Mostre que a_{n}<a_{n+1} para todo n \in \mathbb{N}.
(c) Conclua que existe L \in \mathbb{R} tal que \lim a_{n}=L.
(d) Mostre que L é tal que a \leq L \leq \sqrt{2} e
logo o trinômio é sempre não-negativo, com raiz dupla a_{n}= \sqrt{2}. Como pela hipótese a_{n}<\sqrt{2}, concluímos que a expressão acima é estritamente positiva e assim a_{n+1}<\sqrt{2}. Isso completa o passo de indução.
Pelas desigualdades do passo anterior temos a_{n}>0 e a_{n}^{2}<2, então 2-a_{n}^{2}>0 e também 2+a_{n}^{2}>0. Logo a_{n+1}-a_{n}>0, ou seja, a sequência é estritamente crescente.
Passo 4
Uma sequência estritamente crescente e limitada superiormente (por \sqrt{2}) é convergente. Logo existe
L=\lim_{n\to\infty}a_{n},
com 0\le a_{1}\le a_{n}\le\sqrt{2}, isto é, a\le L\le\sqrt{2}.
Passo 5
Como a_{n+1}=\frac{4a_{n}}{2+a_{n}^{2}}, tomando limite em ambos os lados obtemos