Dado o polinômio P(x)=(m^2-1) cdot x^2+(m-1) cdot x+7, discuta, em função de m, o seu grau.
4) Dado os polinômios P(x)=10 x^4-3 x^2+3 x+10 e Q(x)=2 x^2-5 x, determine o que se pede:
a) (P+Q)(x)

Passo 1

O enunciado pede dois itens: (i) discutir, em função de m, o grau do polinômio P(x)=(m^2-1)x^2+(m-1)x+7; (ii) dado P(x)=10x^4-3x^2+3x+10 e Q(x)=2x^2-5x, calcular (P+Q)(x). O conteúdo envolve definição de grau de polinômio e operação de soma de polinômios.

Passo 2

Para discutir o grau de P(x)=(m^2-1)x^2+(m-1)x+7 usamos que o grau é o maior expoente cujo coeficiente é não nulo. O coeficiente líder é m^2-1. Se m^2-1neq0, ou seja, mneqpm1, o termo quadrático permanece e o grau de P é 2.

Passo 3

Se m^2-1=0, temos dois casos:
  • Para m=1, P(x)=0cdot x^2+0cdot x+7=7, que é constante, logo grau 0.
  • Para m=-1, P(x)=0cdot x^2-2x+7=-2x+7, polinômio de primeiro grau, logo grau 1.

Passo 4

Para calcular (P+Q)(x), basta somar coeficiente a coeficiente:
P(x)+Q(x)=l(10x^4-3x^2+3x+10r)+l(2x^2-5xr)
Agrupando termos semelhantes: Os termos de grau 4,2,1 e 0 ficam:
  • grau 4: 10x^4
  • grau 2: -3x^2+2x^2=-x^2
  • grau 1: 3x-5x=-2x
  • grau 0: +10
Logo,
(P+Q)(x)=10x^4 - x^2 - 2x + 10

Resposta

O grau de P(x)=(m^2-1)x^2+(m-1)x+7 é:
  • 2 se mneqpm1
  • 1 se m=-1
  • 0 se m=1
E
(P+Q)(x)=10x^4 - x^2 - 2x + 10

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