Um dos valores que anula a derivada primeira de f(x)=x^2x-1 é:

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma função $ f(x) = \frac{x^{2}}{x - 1} $ e o que a gente precisa descobrir é quais valores de $ x $ fazem a primeira derivada dessa função ser igual a zero. Isso tá relacionado com o conteúdo de cálculo diferencial, onde a gente aprende a encontrar derivadas e resolver equações para encontrar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se você tem uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada é $ \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{[v(x)]^{2}} $.
Aqui, $ u(x) = x^{2} $ e $ v(x) = x - 1 $. Vamos derivar cada um:
  • $ u’(x) = 2x $
  • $ v’(x) = 1 $

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 2x cdot (x - 1) - x^2 cdot 1(x - 1)^2 = 2x(x - 1) - x^2(x - 1)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
2x(x - 1) = 2x^2 - 2x
Então:
2x^2 - 2x - x^2 = x^2 - 2x
Portanto, a derivada fica:
f'(x) = x^2 - 2x(x - 1)^2 = x(x - 2)(x - 1)^2

Passo 5

Agora, queremos encontrar os valores de $ x $ que fazem $ f’(x) = 0 $. Isso acontece quando o numerador é igual a zero:
x
Então, as soluções são:
f'(x) = 0

Resposta

Os valores que anulam a derivada primeira são $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

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