1. Dado o polinómio \mathrm{P}(x)=x^{3}+2 x^{2}-13 x+10
    a) Mostra que 1 é um zero do polinómio.
    b) Determina o resto da divisão do polinómio dividido por D(x)=x-2.
    c) Decomponha o polinómio \mathrm{P}(x) em factores de grau não superior ao 1^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
\mathrm{P}(x)=x^{3}+2x^{2}-13x+10
e pede:
– (a) mostrar que 1 é zero de \mathrm{P}(x);
– (b) determinar o resto da divisão de \mathrm{P}(x) por D(x)=x-2;
– (c) decompor \mathrm{P}(x) em fatores de grau no máximo 1.
Para isso vamos usar o Teorema do Resto (que diz que o resto de dividir por x-a é \mathrm{P}(a)) e o Teorema das Raízes Racionais (se a é raiz, então x-a é fator).

Passo 2

Para mostrar que 1 é zero de \mathrm{P}(x) calculamos
\mathrm{P}(1)=1^{3}+2\cdot1^{2}-13\cdot1+10 =1+2-13+10=0.
Como \mathrm{P}(1)=0, concluímos que x-1 é fator de \mathrm{P}(x), ou seja, 1 é realmente uma raiz.

Passo 3

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de \mathrm{P}(x) por x-2 é
\mathrm{P}(2)=2^{3}+2\cdot2^{2}-13\cdot2+10 =8+8-26+10=0.
Logo o resto é 0, o que também mostra que x-2 é fator de \mathrm{P}(x).

Passo 4

Sabendo que (x-1) e (x-2) são fatores, dividimos \mathrm{P}(x) por (x-1) para obter o quociente
Q(x)=x^{2}+3x-10
(pode confirmar por divisão polinomial ou método de Ruffini). Agora fatoramos Q(x):
x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2).
Portanto
\mathrm{P}(x)=(x-1)\,Q(x)=(x-1)(x+5)(x-2).

Resposta

(a) \mathrm{P}(1)=0, logo 1 é raiz de \mathrm{P}(x).
(b) O resto da divisão por x-2 é \mathrm{P}(2)=0.
(c) \displaystyle \mathrm{P}(x)=(x-1)(x+5)(x-2).

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