- Dado o polinómio
a) Mostra que 1 é um zero do polinómio.
b) Determina o resto da divisão do polinómio dividido por
.
c) Decomponha o polinómio
em factores de grau não superior ao
.
a) Mostra que 1 é um zero do polinómio.
b) Determina o resto da divisão do polinómio dividido por
c) Decomponha o polinómio
Passo 1
O enunciado dá o polinómio
e pede:
– (a) mostrar que é zero de
;
– (b) determinar o resto da divisão de por
;
– (c) decompor em fatores de grau no máximo
.
Para isso vamos usar o Teorema do Resto (que diz que o resto de dividir por é
) e o Teorema das Raízes Racionais (se
é raiz, então
é fator).
– (a) mostrar que
– (b) determinar o resto da divisão de
– (c) decompor
Para isso vamos usar o Teorema do Resto (que diz que o resto de dividir por
Passo 2
Para mostrar que
é zero de
calculamos
Como
, concluímos que
é fator de
, ou seja,
é realmente uma raiz.
Passo 3
Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de
por
é
Logo o resto é
, o que também mostra que
é fator de
.
Passo 4
Sabendo que
e
são fatores, dividimos
por
para obter o quociente
(pode confirmar por divisão polinomial ou método de Ruffini). Agora fatoramos
:
Portanto
Resposta
(a)
, logo
é raiz de
.
(b) O resto da divisão por é
.
(c) .
(b) O resto da divisão por
(c)