1. Dado o polinómio \mathrm{P}(x)=3 x^{3}-(m-1) x^{2}-12 x+4,
    a. Determina o valor de m, sabendo que P(x)-dividido por x-1 dá resto -2 .
    b. Considere m=2 e decomponha o polinómio \mathrm{P}(x) em factores de grau não superior ao 1^{\circ}, sabendo que x=2 é raiz do polinómio \mathrm{P}(x).

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
P(x)=3x^{3}-(m-1)x^{2}-12x+4
e pede:
a) o valor de m tal que o resto da divisão de P(x) por x-1 seja -2;
b) supondo agora m=2 e sabendo que x=2 é raiz de P(x), decompor P(x) em factores de grau não superior a 1.

Passo 2

Para a parte (a) usamos o Teorema do Resto, que diz que o resto de dividir P(x) por x-1 é precisamente P(1). Calculamos
P(1)=3\cdot1^{3}-(m-1)\cdot1^{2}-12\cdot1+4 =3-(m-1)-12+4.
Fazendo as contas,
3-12+4=-5,
logo
P(1)=-5-(m-1)=-5-m+1=-m-4.
O enunciado pede P(1)=-2, ou seja,
-m-4=-2.

Passo 3

Resolvendo -m-4=-2 obtém-se
-m=2 \quad\Longrightarrow\quad m=-2.

Passo 4

Agora para a parte (b) tomamos m=2. Assim
P(x)=3x^{3}-(2-1)x^{2}-12x+4 =3x^{3}-x^{2}-12x+4.
Sabendo que x=2 é raiz, aplicamos o Teorema do Factor e dividimos P(x) por (x-2).

Passo 5

Fazemos divisão sintética de 3x^{3}-x^{2}-12x+4 por x-2:
coeficientes: 3,\;-1,\;-12,\;4.
Trazer para baixo o 3, multiplicar por 2 dá 6; somar a -1 5; multiplicar por 2 dá -? não, 5\cdot2=10; somar a -12 -2; multiplicar por 2 dá -4; somar a 4 0.
Logo o quociente é 3x^{2}+5x-2 e o resto é 0.

Passo 6

Ficamos com
P(x)=(x-2)\bigl(3x^{2}+5x-2\bigr).
Agora factorizamos o quadrático: procuramos duas raízes de 3x^{2}+5x-2=0.
Fazendo o trinómio ao quadrado, ou usando a fórmula de Bhaskara, encontra-se facilmente que
3x^{2}+5x-2=(3x-1)(x+2).

Resposta

a) m=-2
b) Para m=2 temos
P(x)=(x-2)(3x-1)(x+2).

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