1. Determina os números a e b de modo que o polinómio \mathrm{P}(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+2 x+b se transforme num polinómio divisível por x-1 e que dividido por 2 x+4 dê resto 3

Passo 1

Temos P(x)=2x^{3}-3a\,x^{2}+2x+b. Queremos que
  1. x-1 seja fator de P(x), ou seja, P(1)=0.
  2. Ao dividir P(x) por 2x+4, o resto seja 3. Pelo Teorema do Resto generalizado, o resto ao dividir por 2x+4 é P\bigl(-\tfrac{4}{2}\bigr)=P(-2).

Passo 2

Impondo P(1)=0:
P(1)=2\cdot1^{3}-3a\cdot1^{2}+2\cdot1+b =2-3a+2+b =4-3a+b \stackrel!=0.
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b=3a-4.

Passo 3

Impondo P(-2)=3:
P(-2)=2(-2)^{3}-3a(-2)^{2}+2(-2)+b =2\cdot(-8)-3a\cdot4-4+b =-16-12a-4+b =-20-12a+b \stackrel!=3.
Substituindo b=3a-4:
-20-12a+(3a-4)=3 \;\Longrightarrow\; -24-9a=3 \;\Longrightarrow\; -9a=27 \;\Longrightarrow\; a=-3.

Passo 4

Usando a=-3 em b=3a-4:
b=3\cdot(-3)-4=-9-4=-13.

Resposta

a=-3 e b=-13.

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