1. Dado R^{\prime}=300 \mathrm{~m}, calcular um novo R, sendo R>R^{\prime}, de modo que o grau da curva seja múltiplo de 40’, para corda de 20 metros, adotando \mathrm{G}=200 minutos, com o objetivo de usar valores de ângulos com números inteiros, para facilitando os cálculos de projeto e a execução em campo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista de dados e o objetivo):
  • Dado inicial: R'=300\\ \mathrm{m}.
  • Corda adotada: C=20\\ \mathrm{m}.
  • Deseja-se que o “grau da curva” (ângulo central correspondente à corda de 20\\ \mathrm{m}) seja múltiplo de 40' (quarenta minutos).
  • Foi sugerido adotar G=200' (duzentos minutos) como valor do grau da curva.
  • Pedido: calcular um novo raio R, com R>R', correspondente a essa escolha de G, para a corda de 20\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo a relação entre corda, raio e ângulo central (a fórmula que vamos usar).
  • Considere um círculo de raio R. Se uma corda de comprimento C subtende um ângulo central G (medido em radianos), a relação geométrica é:
C = 2R\sin\!\left(\frac{G}{2}\right).
  • Nessa fórmula:
    • C é o comprimento da corda (aqui 20\\ \mathrm{m}),
    • R é o raio da curva que queremos achar,
    • G é o ângulo central correspondente à corda C (aqui será 200', que vamos converter).
  • Isolando R obtemos a fórmula prática:
R = \frac{C}{2\sin\!\left(\dfrac{G}{2}\right)}.
Vou usar essa fórmula com C=20\\ \mathrm{m} e G=200'.

Passo 3

Converter G=200' (minutos) para graus e depois para radianos, porque a função \sin aceita um ângulo em radianos no cálculo numérico.
  • Primeiro converter minutos para graus:
G = 200' = \frac{200}{60}\,^\circ = \frac{10}{3}\,^\circ = 3{,}333\ldots^\circ.
  • Metade do ângulo (porque a fórmula usa G/2):
\frac{G}{2} = 1{,}666\ldots^\circ.
  • Converter para radianos (multiplicando por \pi/180):
\frac{G}{2}\\ (\text{em rad}) = 1{,}666\ldots^\circ\cdot\frac{\pi}{180}.

Passo 4

Calcular numericamente \sin\!\left(\dfrac{G}{2}\right).
  • Primeiro o valor em radianos:
\frac{G}{2}\\ (\text{em rad}) = 1{,}666\ldots^\circ\cdot\frac{\pi}{180}\approx 0{,}029088796\\ \text{rad}.
  • Usando a expansão de série curta ou uma avaliação direta, obtemos
\sin\!\left(0{,}029088796\right)\approx 0{,}029084709.

Passo 5

Calcular R pela fórmula:
R = \frac{C}{2\sin\!\left(\dfrac{G}{2}\right)} = \frac{20}{2\cdot 0{,}029084709} = \frac{10}{0{,}029084709}.
Fazendo a divisão:
R \approx 343{,}76\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificar as condições pedidas e comentar:
  • O valor obtido satisfaz R>R' porque 343{,}76\\ \mathrm{m} > 300\\ \mathrm{m}.
  • O ângulo adotado G=200' é múltiplo de 40' (porque 200'/40' = 5 inteiro), então atende à exigência de usar um grau da curva múltiplo de 40' e facilita o uso de ângulos com números inteiros em minutos no projeto e em campo.

Resposta

R \approx 343{,}76\\ \mathrm{m}

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