1. Sabendo que o raio de uma curva circular horizontal simples é 500 metros, com ângulo central de 40^{\circ}, usando corda de 20 metros e E(P I)=150 \mathrm{e}+10,00 \mathrm{~m}, determine:
  • Tangente
  • Desenvolvimento
  • Afastamento
  • Grau da curva
  • Deflexão para corda de 20 metros
  • Deflexão por metro
  • Estaca do início da curva (PC)
  • Estaca do final da curva (PT)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos esses dados do seu texto):
  • Raio da curva: R=500\\ \text{m}.
  • Ângulo central da curva: \Delta=40^\circ.
  • Corda usada para os lançamentos: c=20\\ \text{m}.
  • Estaca do Ponto de Interseção (PI) indicada no enunciado: E(PI)=150\,+\,10,00\\ \text{m}. Aqui tenho uma pequena ambiguidade na notação: normalmente a notação 150+10{,}00 significa 150 estacas de 100\\ \text{m} mais 10{,}00\\ \text{m}, ou seja 150\cdot100+10{,}00=15\,010{,}00\\ \text{m}. Vou adotar essa interpretação (PI =15\,010{,}00\\ \text{m}). Se a sua convenção for outra, os cálculos de PC/PT mudam apenas por uma constante de estação.
    O enunciado pede que se determine:
  • Tangente;
  • Desenvolvimento (comprimento da curva);
  • Afastamento;
  • Grau da curva (usando corda de 20\\ \text{m});
  • Deflexão para corda de 20\\ \text{m};
  • Deflexão por metro;
  • Estaca do início da curva (PC);
  • Estaca do final da curva (PT).

Passo 2

Definição e cálculo da tangente T.
O que é tangente (intuitivamente): é a distância medida ao longo da linha tangente desde o ponto de tangência (PC) até o ponto de interseção das prolongações das tangentes (PI). Geometricamente vale a fórmula padrão para curva circular simples:
T = R\tan\!\left(\frac{\Delta}{2}\right).
Aqui \Delta/2=20^\circ. Vamos calcular:
T = 500\cdot\tan\!\left(20^\circ\right).
Usando \tan(20^\circ)\approx 0{,}3639702343 (valor de tabela/trig), obtemos
T \approx 500\cdot 0{,}3639702343 \approx 181{,}985\\ \text{m}.
Portanto a tangente é aproximadamente 181{,}985\\ \text{m}.

Passo 3

Desenvolvimento L (comprimento da curva).
Explicação: o comprimento do arco de círculo relativo a um ângulo \Delta (em radianos) é L=R\Delta_{\text{rad}}. Convertendo \Delta para radianos:
\Delta = 40^\circ = \frac{40\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}\\ \text{rad}.
Assim
L = R\Delta_{\text{rad}} = 500\cdot\frac{2\pi}{9}=\frac{1000\pi}{9}\\ \text{m}.
Numericamente, usando \pi\approx3{,}141592654,
L \approx 349{,}066\\ \text{m}.

Passo 4

Afastamento (ordenada média) A.
Explicação: em projetos geométricos de curvas, o “afastamento” normalmente refere-se à ordenada média (também chamada de afastamento máximo no meio do arco), que é a distância máxima entre a corda que une os extremos da curva e o arco. A fórmula é
A = R\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{\Delta}{2}\bigr)\Bigr).
Como \Delta/2=20^\circ e \cos(20^\circ)\approx 0{,}9396926208, temos
A \approx 500\cdot\bigl(1-0{,}9396926208\bigr)\approx 500\cdot 0{,}0603073792\approx 30{,}154\\ \text{m}.
Observação didática: existe também a chamada distância externa E_{\text{ext}} (distância do PI ao arco medida perpendicularmente), cuja fórmula é E_{\text{ext}}=R\bigl(\operatorname{sec}(\tfrac{\Delta}{2})-1\bigr). Para referência rápida:
E_{\text{ext}}\approx 500\cdot\bigl(\tfrac{1}{\cos 20^\circ}-1\bigr)\approx 32{,}089\\ \text{m}.
Mas o pedido foi “afastamento”, que estou reportando como A (ordenada média).

Passo 5

Grau da curva (definição adotada) e cálculo.
Explicação: em obras rodoviárias e ferroviárias costuma-se definir o “grau da curva” como o ângulo central correspondente a uma corda padrão (aqui pediram usar corda de 20\\ \text{m}). Assim o grau da curva D é o ângulo central que subtende uma corda de 20\\ \text{m}. A fórmula é
D = 2\arcsin\!\Bigl(\frac{c}{2R}\Bigr),
com c=20\\ \text{m}. Então
D = 2\arcsin\!\Bigl(\frac{20}{2\cdot500}\Bigr)=2\arcsin(0{,}02).
Numericamente, \arcsin(0{,}02)\approx 1{,}1459155903^\circ, logo
D \approx 2{,}2918311805^\circ.
É útil também exprimir em graus, minutos e segundos:
D \approx 2^\circ\,17'\,30{,}59''.

Passo 6

Deflexão para corda de 20\\ \text{m}.
Interpretação didática: a “deflexão para corda de 20 m” costuma ser entendida como o ângulo central correspondente àquela corda (ou seja, o mesmo valor que chamamos de D no passo anterior). Portanto
\text{Deflexão por corda de }20\\ \text{m} = D \approx 2{,}2918311805^\circ \approx 2^\circ\,17'\,30{,}59''.ã

Passo 7

Deflexão por metro.
Explicação: é o ângulo (em graus) correspondente a cada metro de corda, ou seja D dividido por 20\\ \text{m}:
\text{Deflexão por metro}=\frac{D}{20}\approx\frac{2{,}2918311805^\circ}{20}\approx 0{,}1145915590^\circ\\ \text{por metro}.ã
Em graus-minutos-segundos isso dá aproximadamente
0^\circ\,6'\,52{,}53''\\ \text{por metro}.

Passo 8

Cálculo das estacas PC e PT (início e fim da curva).
Fórmulas: as estacas do início (PC) e fim (PT) da curva, em relação à estaca do PI, são dadas por
\text{PC} = \text{PI} - T,\qquad \text{PT} = \text{PI} + T.
Usei a interpretação da estaca do PI como \text{PI}=15\,010{,}00\\ \text{m} (ver Passo 1). Assim:
\text{PC}=15\,010{,}00 - 181{,}985 \approx 14\,828{,}015\\ \text{m},
\text{PT}=15\,010{,}00 + 181{,}985 \approx 15\,191{,}985\\ \text{m}.
Escrevendo no formato de estaca comum a+bb{,}ccc\\ \text{m}:
\text{PC}\approx 148+28{,}015\\ \text{m}, \qquad \text{PT}\approx 151+91{,}985\\ \text{m}.
(Se a sua convenção para interpretar 150+10{,}00 for diferente, substitua o valor de PI por aquele e refaça \text{PC}=\text{PI}-T, \text{PT}=\text{PI}+T.)

Resposta

Tangente T \approx 181{,}985\\ \text{m}
Desenvolvimento L \approx 349{,}066\\ \text{m}
Afastamento A \approx 30{,}154\\ \text{m}
Grau da curva D \approx 2{,}291831^\circ \\ (\text{ou }2^\circ\,17'\,30{,}59'')
Deflexão para corda de 20\\ \text{m}: \approx 2{,}291831^\circ \\ (\text{ou }2^\circ\,17'\,30{,}59'')
Deflexão por metro \approx 0{,}114592^\circ/\text{m}\\ (\text{ou }0^\circ\,6'\,52{,}53''/\text{m})
Estaca do início da curva (PC) \approx 148+28{,}015\\ \text{m}
Estaca do final da curva (PT) \approx 151+91{,}985\\ \text{m}

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