Dado o seguinte sistema:
Projete um compensador de avanço para obter uma margem de fase de
e uma constante de erro estático de velocidade de 10 .
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Sistema em malha aberta (transferência do plant multiplicada por um ganho):
- Pedidos:
- Projetar um compensador de avanço (lead) para obter margem de fase de
. - Garantir constante de erro estático de velocidade
.
- Projetar um compensador de avanço (lead) para obter margem de fase de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A planta sem compensador é
. - O ganho escalar externo é
(podemos ajustá‑lo se necessário). - Presume‑se realimentação unitária (configuração padrão em projeto de margem de fase/erro estático).
Passo 2
Entender o requisito do erro em regime permanente (constante de velocidade) e como ele determina o ganho DC efetivo.
- Para um sistema em malha unitária, a constante de velocidade é definida por
onde
é a função de transferência em malha aberta total (incluindo compensador e ganhos). Se fizermos o compensador
multiplicado por
, então
- Como
, ao tomar temos e . Logo
- O requisito é
. Portanto deve valer
Observação didática:
é o ganho em baixa frequência do compensador. No caso de um compensador de avanço padrão da forma
, tem‑se
. Assim a condição fica
. Ou seja, o produto do ganho
do sistema e do ganho DC do compensador deve ser igual a 1 para satisfazer
.
Decisão prática: para simplificar, podemos escolher
e então
. (Isso atende à condição
. Se
for outro valor, basta ajustar
.) Vou adotar
durante o projeto — o raciocínio vale de forma equivalente para qualquer escolha, trocando
e
de forma a manter o produto igual a 1.
Passo 3
Analisar a planta sem compensador (com
) para saber qual é a margem de fase atual e quanto precisamos acrescentar.
- A função em malha aberta sem compensador (com
) é
- Para projetar pelo método de Bode, calculamos a frequência de cruzamento de ganho (onde
) e a fase em tal frequência.
Cálculo aproximado (passo a passo numérico, sem pular contas):
- Módulo em frequência genérica
:
Buscamos
tal que
.
Testes numéricos rápidos:
- Em
: (muito maior que 1). - Em
: (ainda >1). - Em
: aproximação numérica dá . Portanto tomamos .
Fase em
:
- A fase da planta é
- Em
: e . Logo
- Assim a margem de fase atual é
Isto é, sem compensador o sistema tem margem negativa (instável em malha fechada) — precisamos de uma grande correção de fase.
Didática: a margem de fase desejada é
. Portanto precisamos adicionar, na frequência de projeto, aproximadamente
Adicionalmente, costuma‑se dar uma folga de projeto de
a
para compensar erros de aproximação; vou usar uma folga de
. Assim o pico de avanço necessário será aproximadamente
Passo 4
Apresentar o modelo do compensador de avanço e as fórmulas úteis para o projeto.
- Compensador de avanço padrão (forma usada aqui):
Explicação dos parâmetros:
-
é o ganho em baixa frequência do compensador (lembre: para garantir ). -
define a posição do zero ( ). -
define a posição do polo ( ); como temos polo mais à esquerda que o zero (isso gera avanço de fase em certa faixa).
Fórmula útil que liga
e o avanço máximo
do compensador:
Isto pode ser rearranjado para obter
quando se escolhe
:
Também a frequência de máximo avanço (centro da ação do compensador) ocorre em
No projeto clássico escolhe‑se
próximo da futura frequência de cruzamento de ganho desejada, de modo que o compensador entregue o avanço máximo onde é necessário.
Passo 5
Determinar
a partir de
escolhido e calcular os parâmetros numéricos do compensador.
- Usei
(conforme estimado no passo anterior). Calculemos :
- Determinar a frequência
onde o compensador dará o avanço máximo. Método clássico: escolher de modo que a fase da planta em somada ao dê a fase requerida para alcançar a margem desejada. Queremos fase total em igual a . Então exigimos:
ou
Substituindo
dá
- Agora achamos numericamente a
que satisfaz . Lembrando
Resolvendo numericamente (testes como no Passo 3) obtemos
porque em
a soma dos arctan dá aproximadamente
e então
.
- Agora calculamos
a partir de :
Com
e
tem‑se
, logo
- O polo do compensador fica em
e o zero em . Calculando:
- Como no Passo 2 optamos por
para satisfazer com , vamos escolher . Assim o compensador fica na forma sem ganho DC extra (ganho DC igual a 1).
Portanto o compensador numérico (forma canônica) é
Didática: o valor aproximado de
pequeno (cerca de 0,1) é típico quando se pede um avanço grande (aumentos de fase na casa de
–
). O zero está em
e o polo em
: zero mais à direita, polo mais à esquerda — isto gera o efeito de avanço de fase entre essas duas frequências, centrado em
.
Passo 6
Resumo do projeto (parâmetros finais) e breve verificação conceitual.
-
Escolhas e resultados finais:
- Para satisfazer
escolhi e portanto . - Compensador de avanço projetado:
- Parâmetros usados:
, , , . - Produto
atende porque .
- Para satisfazer
-
Observação prática importante (didática e honesta): o procedimento apresentado é o procedimento clássico de projeto em frequência (método aproximado de Bode). Ele determina
e colocando o pico de avanço onde a planta precisa de fase. Em projeto real, após escolher estes parâmetros deve‑se sempre: - Traçar o diagrama de Bode do laço compensado
. - Confirmar a frequência de cruzamento de ganho final e a margem de fase real obtida.
- Se necessário, ajustar levemente
, ou (lembrando de manter para não perder ) para terminar o ajuste fino.
- Traçar o diagrama de Bode do laço compensado
No caso deste projeto por aproximação obtemos o compensador acima que fornece o avanço de fase necessário para levar a margem de fase para perto de
enquanto garante
. Em um ajuste fino num software (MATLAB, Python) faria um pequeno refinamento numérico para obter a margem exatamente em
.