Dado o seguinte sistema:
K G(s)=K \frac{10}{s(0,4 s+1)(0,17 s+1)}
Projete um compensador de avanço para obter uma margem de fase de 45^{\circ} e uma constante de erro estático de velocidade de 10 .

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Sistema em malha aberta (transferência do plant multiplicada por um ganho): K G(s)=K\frac{10}{s(0,4s+1)(0,17s+1)}.
  • Pedidos:
    1. Projetar um compensador de avanço (lead) para obter margem de fase de \,45^\circ.
    2. Garantir constante de erro estático de velocidade K_v=10.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A planta sem compensador é \displaystyle G(s)=\frac{10}{s(0,4s+1)(0,17s+1)}.
  • O ganho escalar externo é K (podemos ajustá‑lo se necessário).
  • Presume‑se realimentação unitária (configuração padrão em projeto de margem de fase/erro estático).

Passo 2

Entender o requisito do erro em regime permanente (constante de velocidade) e como ele determina o ganho DC efetivo.
  • Para um sistema em malha unitária, a constante de velocidade é definida por
K_v=\lim_{s\to0}sL(s),
onde L(s) é a função de transferência em malha aberta total (incluindo compensador e ganhos). Se fizermos o compensador C(s) multiplicado por K, então
L(s)=K\,C(s)\,G(s).
  • Como G(s)=\dfrac{10}{s(0,4s+1)(0,17s+1)}, ao tomar s\to0 temos (0,4s+1)\to1 e (0,17s+1)\to1. Logo
K_v=\lim_{s\to0} s\cdot K\,C(s)\cdot \frac{10}{s(0,4s+1)(0,17s+1)} =K\cdot C(0)\cdot 10.
  • O requisito é K_v=10. Portanto deve valer
K\cdot C(0)\cdot 10=10 \quad\Rightarrow\quad K\cdot C(0)=1.
Observação didática: C(0) é o ganho em baixa frequência do compensador. No caso de um compensador de avanço padrão da forma \displaystyle C(s)=K_c\frac{\tau s+1}{\alpha\tau s+1}, tem‑se C(0)=K_c. Assim a condição fica K\cdot K_c=1. Ou seja, o produto do ganho K do sistema e do ganho DC do compensador deve ser igual a 1 para satisfazer K_v=10.
Decisão prática: para simplificar, podemos escolher K=1 e então K_c=1. (Isso atende à condição K\cdot C(0)=1. Se K for outro valor, basta ajustar K_c=1/K.) Vou adotar K=1 durante o projeto — o raciocínio vale de forma equivalente para qualquer escolha, trocando K e K_c de forma a manter o produto igual a 1.

Passo 3

Analisar a planta sem compensador (com K=1) para saber qual é a margem de fase atual e quanto precisamos acrescentar.
  • A função em malha aberta sem compensador (com K=1) é
L_0(s)=G(s)=\frac{10}{s(0,4s+1)(0,17s+1)}.
  • Para projetar pelo método de Bode, calculamos a frequência de cruzamento de ganho (onde |L_0(j\omega)|=1) e a fase em tal frequência.
Cálculo aproximado (passo a passo numérico, sem pular contas):
  • Módulo em frequência genérica \omega:
|G(j\omega)|=\frac{10}{\omega\sqrt{1+(0,4\omega)^2}\sqrt{1+(0,17\omega)^2}}.
Buscamos \omega_{gc} tal que |G(j\omega_{gc})|=1.
Testes numéricos rápidos:
  • Em \omega=1: |G(j1)|\approx 9{,}16 (muito maior que 1).
  • Em \omega=4: |G(j4)|\approx 1{,}096 (ainda >1).
  • Em \omega=4{,}18: aproximação numérica dá |G(j4{,}18)|\approx 1{,}0. Portanto tomamos \omega_{gc}\approx 4{,}18\\ \text{rad/s}.
Fase em \omega_{gc}:
  • A fase da planta é
\angle G(j\omega) = -90^\circ - \arctan(0,4\omega) - \arctan(0,17\omega).
  • Em \omega\approx 4{,}18 : \arctan(0{,}4\cdot4{,}18)\approx 59{,}9^\circ e \arctan(0{,}17\cdot4{,}18)\approx 35{,}4^\circ. Logo
\angle G(j4{,}18)\approx -90^\circ -59{,}9^\circ -35{,}4^\circ \approx -185{,}3^\circ.
  • Assim a margem de fase atual é
\text{PM}_\text{atual}=180^\circ+\angle G(j\omega_{gc}) \approx 180^\circ-185{,}3^\circ\approx -5{,}3^\circ.
Isto é, sem compensador o sistema tem margem negativa (instável em malha fechada) — precisamos de uma grande correção de fase.
Didática: a margem de fase desejada é 45^\circ. Portanto precisamos adicionar, na frequência de projeto, aproximadamente
\phi_{\text{adição}} \approx 45^\circ - (\text{PM}_\text{atual}) \approx 45^\circ -(-5{,}3^\circ) \approx 50{,}3^\circ.çã
Adicionalmente, costuma‑se dar uma folga de projeto de 5^\circ a 12^\circ para compensar erros de aproximação; vou usar uma folga de 5^\circ. Assim o pico de avanço necessário será aproximadamente
\phi_{\max}\approx 50{,}3^\circ + 5^\circ \approx 55^\circ.

Passo 4

Apresentar o modelo do compensador de avanço e as fórmulas úteis para o projeto.
  • Compensador de avanço padrão (forma usada aqui):
C(s)=K_c\frac{\tau s +1}{\alpha \tau s +1},\qquad 0<\alpha<1.
Explicação dos parâmetros:
  • K_c é o ganho em baixa frequência do compensador (lembre: K\cdot K_c=1 para garantir K_v=10).
  • \tau define a posição do zero ( s=-1/\tau).
  • \alpha\tau define a posição do polo ( s=-1/(\alpha\tau)); como 0<\alpha<1 temos polo mais à esquerda que o zero (isso gera avanço de fase em certa faixa).
Fórmula útil que liga \alpha e o avanço máximo \phi_{\max} do compensador:
\sin\phi_{\max}=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}.
Isto pode ser rearranjado para obter \alpha quando se escolhe \phi_{\max}:
\alpha=\frac{1-\sin\phi_{\max}}{1+\sin\phi_{\max}}.
Também a frequência de máximo avanço (centro da ação do compensador) ocorre em
\omega_m=\frac{1}{\tau\sqrt{\alpha}}.
No projeto clássico escolhe‑se \omega_m próximo da futura frequência de cruzamento de ganho desejada, de modo que o compensador entregue o avanço máximo onde é necessário.

Passo 5

Determinar \alpha a partir de \phi_{\max} escolhido e calcular os parâmetros numéricos do compensador.
  • Usei \phi_{\max}=55^\circ (conforme estimado no passo anterior). Calculemos \alpha:
\sin 55^\circ \approx 0{,}819152,
\alpha=\frac{1-\sin 55^\circ}{1+\sin 55^\circ}=\frac{1-0{,}819152}{1+0{,}819152}\approx\frac{0{,}180848}{1{,}819152}\approx 0{,}09945.
  • Determinar a frequência \omega_m onde o compensador dará o avanço máximo. Método clássico: escolher \omega_m de modo que a fase da planta em \omega_m somada ao \phi_{\max} dê a fase requerida para alcançar a margem desejada. Queremos fase total em \omega_m igual a -180^\circ + 45^\circ = -135^\circ. Então exigimos:
\angle G(j\omega_m) + \phi_{\max} \approx -135^\circ,
ou
\angle G(j\omega_m) \approx -135^\circ - \phi_{\max}.
Substituindo \phi_{\max}=55^\circ
\angle G(j\omega_m) \approx -190^\circ.
  • Agora achamos numericamente a \omega_m que satisfaz \angle G(j\omega_m)\approx -190^\circ. Lembrando
\angle G(j\omega)=-90^\circ-\arctan(0{,}4\omega)-\arctan(0{,}17\omega).
Resolvendo numericamente (testes como no Passo 3) obtemos
\omega_m\approx 4{,}65\\ \text{rad/s},
porque em \omega\approx 4{,}65 a soma dos arctan dá aproximadamente 100^\circ e então \angle G\approx -190^\circ.
  • Agora calculamos \tau a partir de \omega_m=\dfrac{1}{\tau\sqrt{\alpha}}:
\tau=\frac{1}{\omega_m\sqrt{\alpha}}.
Com \omega_m\approx 4{,}65 e \alpha\approx 0{,}09945 tem‑se \sqrt{\alpha}\approx 0{,}31548, logo
\tau\approx \frac{1}{4{,}65\cdot 0{,}31548}\approx 0{,}6818\\ \text{s}.
  • O polo do compensador fica em \;s=-\dfrac{1}{\alpha\tau}\; e o zero em s=-\dfrac{1}{\tau}. Calculando:
\alpha\tau \approx 0{,}09945\cdot 0{,}6818 \approx 0{,}06779.
  • Como no Passo 2 optamos por K=1 para satisfazer K_v=10 com K_c=1, vamos escolher K_c=1. Assim o compensador fica na forma sem ganho DC extra (ganho DC igual a 1).
Portanto o compensador numérico (forma canônica) é
C(s)=\frac{0{,}6818\,s+1}{0{,}06779\,s+1}.
Didática: o valor aproximado de \alpha pequeno (cerca de 0,1) é típico quando se pede um avanço grande (aumentos de fase na casa de 50^\circ 60^\circ). O zero está em -1/\tau\approx -1{,}467\\ \text{rad/s} e o polo em -1/(\alpha\tau)\approx -14{,}75\\ \text{rad/s}: zero mais à direita, polo mais à esquerda — isto gera o efeito de avanço de fase entre essas duas frequências, centrado em \omega_m.

Passo 6

Resumo do projeto (parâmetros finais) e breve verificação conceitual.
  • Escolhas e resultados finais:
    • Para satisfazer K_v=10 escolhi K=1 e portanto C(0)=K_c=1.
    • Compensador de avanço projetado:
    C(s)=\frac{0{,}6818\,s+1}{0{,}06779\,s+1}.
    • Parâmetros usados: \phi_{\max}\approx 55^\circ, \alpha\approx 0{,}09945, \tau\approx 0{,}6818\\ \text{s}, \omega_m\approx 4{,}65\\ \text{rad/s}.
    • Produto K\cdot C(0)=1\cdot 1=1 atende K_v=10 porque K_v = 10\cdot (K C(0)) = 10.
  • Observação prática importante (didática e honesta): o procedimento apresentado é o procedimento clássico de projeto em frequência (método aproximado de Bode). Ele determina \alpha e \tau colocando o pico de avanço onde a planta precisa de fase. Em projeto real, após escolher estes parâmetros deve‑se sempre:
    1. Traçar o diagrama de Bode do laço compensado L(s)=K\,C(s)\,G(s).
    2. Confirmar a frequência de cruzamento de ganho final e a margem de fase real obtida.
    3. Se necessário, ajustar levemente \alpha, \tau ou K (lembrando de manter K\cdot C(0)=1 para não perder K_v) para terminar o ajuste fino.
No caso deste projeto por aproximação obtemos o compensador acima que fornece o avanço de fase necessário para levar a margem de fase para perto de 45^\circ enquanto garante K_v=10. Em um ajuste fino num software (MATLAB, Python) faria um pequeno refinamento numérico para obter a margem exatamente em 45^\circ.

Resposta

K=1
C(s)=\dfrac{0{,}6818\,s+1}{0{,}06779\,s+1}

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