Seja o seguinte sistema de terceira ordem:
Projete um compensador de avanço tal que a constante de erro estático de posição seja 9 e a margem de fase seja de pelo menos
.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema em malha aberta
e pede:
- projetar um compensador de avanço tal que a constante de erro estático de posição seja
; - obter margem de fase maior ou igual a
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- a planta (sem o ganho
) é ; - o compensador a projetar será um compensador de avanço (lead), da forma usual
com ; - deve ser assumido o esquema de realimentação unitária (feedback unitário), ou seja, a constante de erro de posição é a constante
onde é a função de transferência em malha aberta total.
Passo 2
Determinar
a partir da exigência de erro estático de posição
.
Explicação do conceito (passo-a-passo didático):
- Em sistema de malha unitária, a constante de erro de posição é definida por
onde
é a função de transferência em malha aberta total (planta vezes compensador).
- Se o compensador tiver ganho DC igual a
(ou seja, ), então . - Para a planta dada, calcule
. Cada fator avaliado em é , logo
- Portanto, com
,
Como o enunciado exige
, concluímos que
Comentário-prático: para manter
depois de inserir o compensador, é conveniente escolher o ganho DC do compensador igual a
(ou seja,
). Assim o ganho em baixa frequência continua sendo
.
Passo 3
Analisar a margem de fase atual (sem compensador) para saber quanto precisamos melhorar.
Montamos a função de malha aberta com
:
Frequência complexa
. Fórmulas úteis (aulas rápidas):
- módulo:
- fase (em graus): sendo
em graus,
Observação: cada polo do tipo
contribui com
.
Encontrar a frequência de cruzamento de ganho
tal que
.
- Testes numéricos (método prático para prova, sem usar software): avaliar
em alguns e interpolar. -
: (maior que 1). -
: (próximo de 1). -
: . - Interpolando, obtemos
-
Calcular a fase nessa frequência:
-
com dá cerca de . -
dá cerca de . -
dá cerca de .
Somando, a fase total é aproximadamente.
A margem de fase (PM) é
Conclusão desta etapa: com
o sistema tem
, muito abaixo do requisito
. Precisamos de um compensador que aumente a margem de fase em pelo menos
; na prática é prudente adicionar uma folga (por exemplo
a
) porque a adição do compensador desloca a frequência de cruzamento.
Passo 4
Teoria do compensador de avanço (lead) e estratégia de projeto (explicação passo-a-passo).
Forma padrão do compensador de avanço:
Propriedades importantes:
- ganho DC:
. Para não alterar (exigido), escolhemos . - máximo avanço de fase que o compensador pode fornecer é
em graus se a função
for convertida para graus.
- a frequência onde ocorre esse máximo de fase é
- o ganho em módulo do compensador no pico é
(em dB: dB).
Estratégia de projeto (prática):
- determinar quanto de avanço de fase adicional é necessário:
(meta de PM) (PM atual) folga (5°–10°). - escolher
um pouco maior que para compensar deslocamento de . - calcular
a partir de usando a relação inversa (resolver para ). - escolher
próximo da frequência de cruzamento desejada (tipicamente perto da original) e determinar por . - verificar o novo diagrama de Bode (módulo e fase) e ajustar iterativamente
e se necessário.
Passo 5
Primeira tentativa (rápida) — escolha de
baseada na deficiência sem muita folga.
- Deficiência inicial:
. - Se escolher
(Δ mais folga ≈5°), calculamos .
Cálculo de
(procedimento para prova):
- coloque
. A relação dá, com ,
que resolve para
Aplicando
(isto é,
):
Escolhendo
perto do cruzamento original
, obtemos
Logo o compensador (com
) seria aproximadamente
Verificação rápida (método numérico): ao multiplicar
por
e achar o novo
e margem de fase, obteve-se uma margem final próxima de
— ainda insuficiente. Conclusão:
foi insuficiente porque o aumento de ganho deslocou o novo
para uma região em que o avanço efetivo era menor que o pico teórico.
Passo 6
Segunda tentativa (iterativa) — aumentar
até obter a margem desejada.
Motivação prática: como a introdução do compensador desloca a frequência de cruzamento para cima, o avanço efetivo no novo
fica menor que
. Para compensar isso, escolhemos
maior. Vamos escolher
(escolha prática:
original
+ folga razoável para deslocamento).
Calcular
para
:
-
. -
. -
.
Escolher
: colocamos
na vizinhança onde a malha com compensador provavelmente cruzará 0 dB; pelos testes numéricos anteriores esse
deverá ficar entre cerca de
e
. Tomaremos
(prática de prova: colocar
um pouco acima do
original).
Calcular
:
Então
.
Compensador projetado (com
para manter
):
Verificação numérica do sistema compensado
:
- encontrando numericamente a nova frequência de cruzamento
(testes em com a função total), obteve-se . - calcular a fase total em
: planta dá e compensador dá , então . - margem de fase resultante:
que satisfaz a especificação de pelo menos
.
Confirmar o erro estático: como escolhemos
, o ganho DC total permanece
, logo
(condição satisfeita).
Passo 7
Resumo do projeto e notas finais (como explicar na prova):
- Primeiro imponha a condição de erro estático:
(esclareça que isso supõe ). - Em seguida calcule a margem de fase do laço sem compensador; aqui deu
. - Decida quanto avanço é necessário:
e acrescente folga. Porque a compensação desloca a , é comum escolher bem maior que e ajustar iterativamente. - Use a fórmula do compensador de avanço para obter
a partir de , escolha e calcule . - Verifique numericamente o novo cruzamento e a nova margem de fase; ajuste se necessário.
Para este problema, uma solução prática (iterativa) que funciona é:
com
garantindo
e com margem de fase final
.