Seja o seguinte sistema de terceira ordem:
K G(s)=\frac{K}{(0,5 s+1)(s+1)(2 s+1)}
Projete um compensador de avanço tal que a constante de erro estático de posição seja 9 e a margem de fase seja de pelo menos 25^{\circ}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema em malha aberta
K G(s)=\frac{K}{(0,5 s+1)(s+1)(2 s+1)}
e pede:
  • projetar um compensador de avanço tal que a constante de erro estático de posição seja 9;
  • obter margem de fase maior ou igual a 25^\circ.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • a planta (sem o ganho K) é G_0(s)=\dfrac{1}{(0,5 s+1)(s+1)(2 s+1)};
  • o compensador a projetar será um compensador de avanço (lead), da forma usual C(s)=K_c\,\dfrac{\tau s+1}{\alpha \tau s+1} com 0<\alpha<1;
  • deve ser assumido o esquema de realimentação unitária (feedback unitário), ou seja, a constante de erro de posição é a constante K_p=\lim_{s\to0}L(s) onde L(s) é a função de transferência em malha aberta total.

Passo 2

Determinar K a partir da exigência de erro estático de posição K_p=9.
Explicação do conceito (passo-a-passo didático):
  • Em sistema de malha unitária, a constante de erro de posição é definida por
K_p=\lim_{s\to0}L(s),
onde L(s) é a função de transferência em malha aberta total (planta vezes compensador).
  • Se o compensador tiver ganho DC igual a 1 (ou seja, C(0)=1), então K_p=\lim_{s\to0}K G_0(s).
  • Para a planta dada, calcule G_0(0). Cada fator avaliado em s=0 é 1, logo
G_0(0)=\frac{1}{1\cdot 1\cdot 1}=1.
  • Portanto, com C(0)=1,
K_p=\lim_{s\to0}K G_0(s)=K\cdot G_0(0)=K.
Como o enunciado exige K_p=9, concluímos que
K=9.
Comentário-prático: para manter K_p=9 depois de inserir o compensador, é conveniente escolher o ganho DC do compensador igual a 1 (ou seja, K_c=1). Assim o ganho em baixa frequência continua sendo 9.

Passo 3

Analisar a margem de fase atual (sem compensador) para saber quanto precisamos melhorar.
Montamos a função de malha aberta com K=9:
L_0(s)=9\;G_0(s)=\frac{9}{(0,5 s+1)(s+1)(2 s+1)}.
Frequência complexa s=j\omega. Fórmulas úteis (aulas rápidas):
  • módulo:
|L_0(j\omega)|=\frac{9}{\sqrt{1+(0,5\omega)^2}\,\sqrt{1+\omega^2}\,\sqrt{1+(2\omega)^2}}.
  • fase (em graus): sendo \arctan em graus,
\angle L_0(j\omega)=-\Big(\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big)+\arctan(\omega)+\arctan(2\omega)\Big).
Observação: cada polo do tipo (1+\tfrac{s}{\omega_p}) contribui com -\arctan(\tfrac{\omega}{\omega_p}).
Encontrar a frequência de cruzamento de ganho \omega_{gc} tal que |L_0(j\omega_{gc})|=1.
  • Testes numéricos (método prático para prova, sem usar software): avaliar |L_0(j\omega)| em alguns \omega e interpolar.
    • \omega=1: |L_0(j1)|\approx 2,55 (maior que 1).
    • \omega=1{,}7: |L_0(j1{,}7)|\approx 0{,}98 (próximo de 1).
    • \omega=1{,}65: |L_0(j1{,}65)|\approx 1{,}044.
    • Interpolando, obtemos \omega_{gc}\approx 1{,}685\\ \text{rad/s}.
Calcular a fase nessa frequência:
  • \arctan(\tfrac{\omega}{2}) com \omega=1{,}685 dá cerca de 40{,}1^\circ.
  • \arctan(\omega) dá cerca de 59{,}1^\circ.
  • \arctan(2\omega) dá cerca de 73{,}4^\circ.
    Somando, a fase total é aproximadamente -172{,}6^\circ.
A margem de fase (PM) é
\text{PM}=180^\circ+\angle L_0(j\omega_{gc})\approx 180^\circ-172{,}6^\circ=7{,}4^\circ.
Conclusão desta etapa: com K=9 o sistema tem \text{PM}\approx 7{,}4^\circ, muito abaixo do requisito 25^\circ. Precisamos de um compensador que aumente a margem de fase em pelo menos \approx 17{,}6^\circ; na prática é prudente adicionar uma folga (por exemplo 5^\circ a 10^\circ) porque a adição do compensador desloca a frequência de cruzamento.

Passo 4

Teoria do compensador de avanço (lead) e estratégia de projeto (explicação passo-a-passo).
Forma padrão do compensador de avanço:
C(s)=K_c\,\frac{\tau s+1}{\alpha\tau s+1},\qquad 0<\alpha<1.
Propriedades importantes:
  • ganho DC: C(0)=K_c. Para não alterar K_p (exigido), escolhemos K_c=1.
  • máximo avanço de fase que o compensador pode fornecer é
\phi_{\max}=\arctan\!\bigg(\frac{1-\alpha}{2\sqrt{\alpha}}\bigg),
em graus se a função \arctan for convertida para graus.
  • a frequência onde ocorre esse máximo de fase é
\omega_m=\frac{1}{\tau\sqrt{\alpha}}.
  • o ganho em módulo do compensador no pico é |C(j\omega_m)|=\dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} (em dB: -10\log_{10}\alpha dB).
Estratégia de projeto (prática):
  1. determinar quanto de avanço de fase adicional é necessário: \Delta\varphi\approx (meta de PM) - (PM atual) + folga (5°–10°).
  2. escolher \phi_{\max} um pouco maior que \Delta\varphi para compensar deslocamento de \omega_{gc}.
  3. calcular \alpha a partir de \phi_{\max} usando a relação inversa (resolver para \alpha).
  4. escolher \omega_m próximo da frequência de cruzamento desejada (tipicamente perto da \omega_{gc} original) e determinar \tau por \tau=1/(\omega_m\sqrt{\alpha}).
  5. verificar o novo diagrama de Bode (módulo e fase) e ajustar iterativamente \phi_{\max} e \omega_m se necessário.

Passo 5

Primeira tentativa (rápida) — escolha de \phi_{\max} baseada na deficiência sem muita folga.
  • Deficiência inicial: \Delta\varphi\approx 25^\circ-7{,}4^\circ=17{,}6^\circ.
  • Se escolher \phi_{\max}\approx 23^\circ (Δ mais folga ≈5°), calculamos \alpha.
Cálculo de \alpha (procedimento para prova):
  • coloque T=\tan(\phi_{\max}). A relação \phi_{\max}=\arctan\!\big(\dfrac{1-\alpha}{2\sqrt{\alpha}}\big) dá, com x=\sqrt{\alpha},
x^2+2T x-1=0,
que resolve para
x=-T+\sqrt{1+T^2},\qquad \alpha=x^2.
Aplicando \phi_{\max}=23^\circ (isto é, T=\tan 23^\circ\approx 0{,}4245):
x\approx -0{,}4245+\sqrt{1+0{,}4245^2}\approx 0{,}6615,\qquad \alpha\approx 0{,}438.
Escolhendo \omega_m perto do cruzamento original \omega_{gc}\approx 1{,}685, obtemos
\tau=\frac{1}{\omega_m\sqrt{\alpha}}\approx\frac{1}{1{,}685\cdot 0{,}6615}\approx 0{,}897.
Logo o compensador (com K_c=1) seria aproximadamente
C_1(s)=\frac{0{,}897 s+1}{0{,}397 s+1}\quad(\text{com }\alpha\tau\approx 0{,}397).
Verificação rápida (método numérico): ao multiplicar C_1(j\omega) por G_0(j\omega) e achar o novo \omega_{gc} e margem de fase, obteve-se uma margem final próxima de 13{,}7^\circ — ainda insuficiente. Conclusão: \phi_{\max}=23^\circ foi insuficiente porque o aumento de ganho deslocou o novo \omega_{gc} para uma região em que o avanço efetivo era menor que o pico teórico.

Passo 6

Segunda tentativa (iterativa) — aumentar \phi_{\max} até obter a margem desejada.
Motivação prática: como a introdução do compensador desloca a frequência de cruzamento para cima, o avanço efetivo no novo \omega_{gc} fica menor que \phi_{\max}. Para compensar isso, escolhemos \phi_{\max} maior. Vamos escolher \phi_{\max}=50^\circ (escolha prática: \Delta\varphi original \approx 17{,}6^\circ + folga razoável para deslocamento).
Calcular \alpha para \phi_{\max}=50^\circ:
  • T=\tan 50^\circ\approx 1{,}1918.
  • x=-T+\sqrt{1+T^2}\approx -1{,}1918+\sqrt{1+1{,}4205}\approx -1{,}1918+1{,}5550\approx 0{,}3632.
  • \alpha=x^2\approx 0{,}1320.
Escolher \omega_m: colocamos \omega_m na vizinhança onde a malha com compensador provavelmente cruzará 0 dB; pelos testes numéricos anteriores esse \omega_{gc} deverá ficar entre cerca de 2{,}4 e 2{,}7\\ \text{rad/s}. Tomaremos \omega_m\approx 2{,}6\\ \text{rad/s} (prática de prova: colocar \omega_m um pouco acima do \omega_{gc} original).
Calcular \tau:
\tau=\frac{1}{\omega_m\sqrt{\alpha}}=\frac{1}{2{,}6\cdot 0{,}3632}\approx 1{,}059.
Então \alpha\tau\approx 0{,}1320\cdot 1{,}059\approx 0{,}140.
Compensador projetado (com K_c=1 para manter K_p):
C(s)=\frac{\tau s+1}{\alpha\tau s+1}\approx\frac{1{,}059 s+1}{0{,}140 s+1}.
Verificação numérica do sistema compensado L(s)=C(s)\cdot 9G_0(s):
  • encontrando numericamente a nova frequência de cruzamento \omega_{gc}' (testes em \omega com a função total), obteve-se \omega_{gc}'\approx 2{,}62\\ \text{rad/s}.
  • calcular a fase total em \omega_{gc}': planta dá \approx -201^\circ e compensador dá \approx +50^\circ, então \angle L(j\omega_{gc}')\approx -151^\circ.
  • margem de fase resultante:
\text{PM}\approx 180^\circ-151^\circ\approx 29^\circ,
que satisfaz a especificação de pelo menos 25^\circ.
Confirmar o erro estático: como escolhemos K_c=1, o ganho DC total permanece K\cdot C(0)=9\cdot 1=9, logo K_p=9 (condição satisfeita).

Passo 7

Resumo do projeto e notas finais (como explicar na prova):
  • Primeiro imponha a condição de erro estático: K_p=\lim_{s\to0}L(s)=9\Rightarrow K=9 (esclareça que isso supõe C(0)=1).
  • Em seguida calcule a margem de fase do laço sem compensador; aqui deu \text{PM}\approx 7{,}4^\circ.
  • Decida quanto avanço é necessário: \Delta\varphi\approx 25^\circ-7{,}4^\circ=17{,}6^\circ e acrescente folga. Porque a compensação desloca a \omega_{gc}, é comum escolher \phi_{\max} bem maior que \Delta\varphi e ajustar iterativamente.
  • Use a fórmula do compensador de avanço para obter \alpha a partir de \phi_{\max}, escolha \omega_m e calcule \tau.
  • Verifique numericamente o novo cruzamento e a nova margem de fase; ajuste se necessário.
Para este problema, uma solução prática (iterativa) que funciona é:
K=9,\qquad C(s)\approx\frac{1{,}059 s+1}{0{,}140 s+1},
com C(0)=1 garantindo K_p=9 e com margem de fase final \approx 29^\circ\ge 25^\circ.

Resposta

K=9
C(s)=\dfrac{1{,}059\,s+1}{0{,}140\,s+1}

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