Questão 5)(valor 1.0 pontos) Linearize a equação não linear
z=y^{3}+3 y^{2} x-3 x^{2} y+x^{2}
na região definida por -2 \leq x \leq 4 e 4 \leq y \leq 10 em torno do ponto (\bar{x}=3, \bar{y}=7). Calcule o erro relativo dessa aproximação no ponto de operação (\bar{x}, \bar{y}).

Passo 1

O enunciado dá a função
z = y^{3} + 3 y^{2} x - 3 x^{2} y + x^{2}
e a região -2 \leq x \leq 4, 4 \leq y \leq 10. O ponto de operação é (\bar{x}=3,\bar{y}=7).
As tarefas pedidas são:
  • Linearizar a função em torno do ponto (\bar{x},\bar{y}).
  • Calcular o erro relativo dessa aproximação no ponto de operação (\bar{x},\bar{y}).

Passo 2

Conceito e fórmula da linearização (primeira ordem, expansão de Taylor):
a linearização (aproximação afim) de f(x,y) ao redor de (\bar{x},\bar{y}) é dada por
L(x,y)=f(\bar{x},\bar{y})+f_{x}(\bar{x},\bar{y})\,(x-\bar{x})+f_{y}(\bar{x},\bar{y})\,(y-\bar{y}).
Aqui f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_{y} é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo). Essa fórmula vem da expansão de Taylor truncada na ordem 1 — ela preserva o valor e as derivadas parciais no ponto de operação.
O erro absoluto da aproximação em um ponto (x,y) é
\text{erro absoluto} = \bigl|f(x,y)-L(x,y)\bigr|.
O erro relativo, em relação ao valor verdadeiro f(x,y), é
\text{erro relativo}=\frac{\bigl|f(x,y)-L(x,y)\bigr|}{\bigl|f(x,y)\bigr|}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=y^{3}+3 y^{2} x-3 x^{2} y+x^{2} termo a termo.
Derivando em relação a x:
  • \partial_{x}(y^{3})=0 (porque y é tratado como constante),
  • \partial_{x}(3y^{2}x)=3y^{2},
  • \partial_{x}(-3x^{2}y)=-6xy,
  • \partial_{x}(x^{2})=2x.
Logo
f_{x}(x,y)=3y^{2}-6xy+2x.
Derivando em relação a y:
  • \partial_{y}(y^{3})=3y^{2},
  • \partial_{y}(3y^{2}x)=6yx,
  • \partial_{y}(-3x^{2}y)=-3x^{2},
  • \partial_{y}(x^{2})=0.
Logo
f_{y}(x,y)=3y^{2}+6xy-3x^{2}.

Passo 4

Avaliar f, f_{x} e f_{y} no ponto (\bar{x},\bar{y})=(3,7).
Calcular f(3,7):
\begin{aligned} f(3,7)&=7^{3}+3\cdot7^{2}\cdot3-3\cdot3^{2}\cdot7+3^{2}\\\ &=343+3\cdot49\cdot3-3\cdot9\cdot7+9\\\ &=343+441-189+9\\\ &=604. \end{aligned}
Calcular f_{x}(3,7):
\begin{aligned} f_{x}(3,7)&=3\cdot7^{2}-6\cdot3\cdot7+2\cdot3\\\ &=3\cdot49-126+6\\\ &=147-126+6=27. \end{aligned}
Calcular f_{y}(3,7):
\begin{aligned} f_{y}(3,7)&=3\cdot7^{2}+6\cdot3\cdot7-3\cdot3^{2}\\\ &=147+126-27\\\ &=246. \end{aligned}

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da linearização obtemos a aproximação linear em torno de (3,7):
L(x,y)=604+27\,(x-3)+246\,(y-7).
Se quiser escrever na forma expandida:
L(x,y)=27x+246y-1199.
Interpretação rápida: para pequenas variações \Delta x=x-3 e \Delta y=y-7, a variação aproximada de z é \Delta z \approx 27\,\Delta x + 246\,\Delta y.

Passo 6

Calcular o erro relativo da aproximação no próprio ponto de operação (\bar{x},\bar{y})=(3,7).
No ponto de operação temos \Delta x=0 e \Delta y=0, logo
L(3,7)=604+27\cdot0+246\cdot0=604=f(3,7).
Portanto o erro absoluto em (3,7) é 0 e o erro relativo é
\text{erro relativo}=\frac{|f(3,7)-L(3,7)|}{|f(3,7)|}=\frac{0}{|604|}=0.
Observação: isso é geral — a linearização construída em torno de um ponto coincide exatamente com a função naquele ponto (a aproximação de primeira ordem foi construída para ter o mesmo valor e mesmas derivadas parciais no ponto), por isso erro ali é zero.

Passo 7

Força aí — a linearização ficou simples e direta: agora sabes a fórmula e como calcular as parciais. Se quiser, posso calcular o erro máximo aproximado na região dada usando o Hessiano (termos de segunda ordem) para estimar a validade da aproximação para variações maiores.

Resposta

L(x,y)=604+27\,(x-3)+246\,(y-7)
\text{Erro relativo no ponto }(3,7)=0

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