Questão 5)(valor 1.0 pontos) Linearize a equação não linear
z=y^{3}+3 y^{2} x-3 x^{2} y+x^{2}
na região definida por -2 \leq x \leq 4 e 4 \leq y \leq 10 em torno do ponto (\bar{x}=3, \bar{y}=7). Calcule o erro relativo dessa aproximação no ponto de operação (\bar{x}, \bar{y}).
Passo 1
O enunciado dá a função
z = y^{3} + 3 y^{2} x - 3 x^{2} y + x^{2}
e a região -2 \leq x \leq 4, 4 \leq y \leq 10. O ponto de operação é (\bar{x}=3,\bar{y}=7).
As tarefas pedidas são:
Linearizar a função em torno do ponto (\bar{x},\bar{y}).
Calcular o erro relativo dessa aproximação no ponto de operação (\bar{x},\bar{y}).
Passo 2
Conceito e fórmula da linearização (primeira ordem, expansão de Taylor):
a linearização (aproximação afim) de f(x,y) ao redor de (\bar{x},\bar{y}) é dada por
Aqui f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_{y} é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo). Essa fórmula vem da expansão de Taylor truncada na ordem 1 — ela preserva o valor e as derivadas parciais no ponto de operação.
O erro absoluto da aproximação em um ponto (x,y) é
\text{erro absoluto} = \bigl|f(x,y)-L(x,y)\bigr|.
O erro relativo, em relação ao valor verdadeiro f(x,y), é
Observação: isso é geral — a linearização construída em torno de um ponto coincide exatamente com a função naquele ponto (a aproximação de primeira ordem foi construída para ter o mesmo valor e mesmas derivadas parciais no ponto), por isso erro ali é zero.
Passo 7
Força aí — a linearização ficou simples e direta: agora sabes a fórmula e como calcular as parciais. Se quiser, posso calcular o erro máximo aproximado na região dada usando o Hessiano (termos de segunda ordem) para estimar a validade da aproximação para variações maiores.