Dado o sistema descrito por
G(s)=\frac{10}{(s+1)(s+2)}
projete o sistema regulador de modo que em sua resposta transitória o sistema tenha 15 \% de overshoot e um tempo de acomodação de 0,5 segundos. Esboce o diagrama de blocos do sistema resultante.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema planta:
G(s)=\frac{10}{(s+1)(s+2)}
E pede duas coisas:
  1. Projetar um regulador (controlador) tal que a resposta transitória do sistema em malha fechada apresente overshoot de 15\% e tempo de acomodação de 0{,}5 segundos.
  2. Esboçar o diagrama de blocos do sistema resultante.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Overshoot desejado: }M_p=15\% = 0{,}15
\text{Tempo de acomodação desejado: }t_s=0{,}5\\ \text{s}çã
A planta é de segunda ordem (dois polos em -1 e -2) e está em malha unitária (o exercício não especifica outro tipo de realimentação, então assumiremos realimentação unitária ao projetar).

Passo 2

Entender a relação entre overshoot e razão de amortecimento \zeta. Para sistemas de segunda ordem subamortecidos, a expressão que relaciona overshoot máximo percentual M_p com a razão de amortecimento \zeta é:
M_p = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}
Aqui:
  • M_p é o overshoot máximo (em razão, não em %). Ex.: 15\%\Rightarrow M_p=0{,}15.
  • \zeta é a razão de amortecimento (entre 0 e 1 para subamortecido).
Queremos encontrar \zeta tal que M_p=0{,}15. Para resolver para \zeta é útil isolar \zeta. Fazendo álgebra (uso da forma conhecida):
\zeta = \frac{-\ln(M_p)}{\sqrt{\pi^2 + \bigl(\ln(M_p)\bigr)^2}}.
Agora substituímos M_p=0{,}15. Primeiro calculemos \ln(0{,}15).
\ln(0{,}15)\approx -1{,}89711998. Definindo A=-\ln(0{,}15)\approx 1{,}89712. Então
\zeta = \frac{A}{\sqrt{\pi^2 + A^2}}.
Calculando numericamente:
\pi^2 \approx 9{,}8696,\qquad A^2\approx 3{,}5990,\qquad \pi^2+A^2\approx 13{,}4686,
\sqrt{\pi^2+A^2}\approx 3{,}670,\qquad \zeta \approx \frac{1{,}89712}{3{,}670}\approx 0{,}5168.
Portanto:
\zeta \approx 0{,}517.

Passo 3

Relacionar tempo de acomodação t_s com \zeta e frequência natural \omega_n. Vou usar o critério padrão de 2\% para tempo de acomodação, cuja aproximação para sistema de segunda ordem subamortecido é:
t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}.
(Explicação rápida: esse é um resultado aproximado obtido pela condição de que o termo exponencial dominante e^{-\zeta\omega_n t} decaia a um fator que deixe o erro dentro de 2\%. Para 2\% usa-se o fator 4; para 5\% usa-se 3.)
Queremos t_s=0{,}5 s. Isolando \omega_n:
\omega_n \approx \frac{4}{\zeta\, t_s}.
Substituindo \zeta\approx 0{,}5168 e t_s=0{,}5:
\omega_n \approx \frac{4}{0{,}5168\cdot 0{,}5}=\frac{4}{0{,}2584}\approx 15{,}486\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular os polos desejados (polos dominantes) a partir de \zeta e \omega_n. Para um sistema de segunda ordem padrão, os polos complexos conjugados são:
s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Calculemos as partes real e imaginária:
\text{Parte real: } -\zeta\omega_n \approx -0{,}5168\cdot 15{,}486 \approx -8{,}000.
\text{Parte imaginária: } \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\approx 15{,}486\sqrt{1-0{,}5168^2}\approx 15{,}486\cdot 0{,}8554\approx 13{,}25.á
Logo os polos desejados são aproximadamente:
s_{1,2}\approx -8{,}00 \pm j13{,}25.
A forma do polinômio característico desejado (produto (s-s_1)(s-s_2)) é:
s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2.
Substituindo valores:
2\zeta\omega_n \approx 2\cdot 0{,}5168\cdot 15{,}486 \approx 16{,}00,
\omega_n^2 \approx (15{,}486)^2 \approx 239{,}87.
Portanto o polinômio desejado é aproximadamente:
s^2 + 16 s + 239{,}87.

Passo 5

Escolher a estrutura do controlador. Precisamos que o polinômio do sistema em malha fechada tenha os coeficientes acima. Vamos analisar que controlador usar:
  • Um ganho proporcional puro K em realimentação unitária produz o polinômio:
1 + K G(s)=0 \quad\Rightarrow\quad (s+1)(s+2) + 10K = 0,
isto é:
s^2 + 3s + (2 + 10K).
Note que o coeficiente de s é fixo em 3 e não pode ser alterado só com ganho proporcional. Então um ganho proporcional não vai permitir obter 2\zeta\omega_n\approx 16.
  • Um controlador do tipo PD (derivativo mais proporcional), C(s)=K_p + K_d s, altera tanto o coeficiente de s quanto o termo constante e, portanto pode ajustar os dois coeficientes que precisamos. Assim escolhemos um controlador PD. (Explicação prática: o termo K_d s aumenta a ação sobre as derivadas, deslocando a posição dos polos para a esquerda e alterando o coeficiente de s.)

Passo 6

Montar a equação característica em malha fechada com C(s)=K_p + K_d s em realimentação unitária:
Função em malha aberta: L(s)=C(s)G(s)=\bigl(K_p + K_d s\bigr)\dfrac{10}{(s+1)(s+2)}.
Equação característica:
1 + L(s) = 0 \quad\Rightarrow\quad (s+1)(s+2) + 10\bigl(K_p + K_d s\bigr) = 0.
Expandindo:
s^2 + 3s + 2 + 10K_d s + 10K_p = 0,
ou agrupando coeficientes:
s^2 + \bigl(3 + 10K_d\bigr)s + \bigl(2 + 10K_p\bigr) = 0.
Queremos que este polinômio coincida com o polinômio desejado s^2 + 16 s + 239{,}87. Portanto igualamos coeficientes:
3 + 10K_d = 16,
2 + 10K_p = 239{,}87.

Passo 7

Resolver para K_d e K_p. Da primeira equação:
10K_d = 16 - 3 = 13 \quad\Rightarrow\quad K_d = \frac{13}{10}=1{,}3.
Da segunda equação:
10K_p = 239{,}87 - 2 = 237{,}87 \quad\Rightarrow\quad K_p = \frac{237{,}87}{10}=23{,}787.
Arredondando de forma prática para projeto:
K_d \approx 1{,}30,\qquad K_p \approx 23{,}79.

Passo 8

Verificação dos polos em malha fechada com esses ganhos. O polinômio fechado ficou:
s^2 + 16 s + 239{,}87,
cujas raízes são:
s = -8{,}00 \pm j13{,}25,
o que coincide com os polos desejados, portanto o sistema terá a razão de amortecimento \zeta e frequência natural \omega_n calculadas, implicando M_p\approx 15\% e t_s\approx 0{,}5 s (pela fórmula usada). Assim o projeto atende às especificações teóricas.

Passo 9

Comentário prático sobre implementação do termo derivativo: um derivador puro K_d s não é fisicamente realizável (ruído, comportamento em alta frequência), então em prática usa-se um derivador filtrado do tipo
\text{Prático: } C(s) = K_p + \frac{K_d s}{1 + \tau s}á
com \tau pequeno (por exemplo \tau uma fração pequena do tempo dominante do sistema) para evitar amplificação de ruído. Para fins de projeto teórico aqui mantemos o ideal K_d s e, se necessário, implementar com filtro para aplicação real.

Passo 10

Esboço do diagrama de blocos do sistema resultante (realimentação unitária com controlador PD). Vou descrever um esboço ASCII e também explicar cada bloco:
Esboço ASCII:
r(s) —> [ C(s)=K_p + K_d s ] —> (+) ----> [ G(s)=10/((s+1)(s+2)) ] —> y(s)
^ |
|________________________________________|
Explicação:
  • r(s) é a referência (entrada desejada).
  • O erro e(s)=r(s)-y(s) entra no controlador C(s)=K_p + K_d s.
  • A saída do controlador alimenta a planta G(s).
  • A saída da planta é y(s) e é retroalimentada diretamente para somar negativamente com r(s) (realimentação unitária).
Valores numéricos do controlador projetado:
C(s)=K_p + K_d s \quad\text{com}\quad K_p \approx 23{,}79,\; K_d \approx 1{,}30.

Resposta

C(s)=23{,}787 + 1{,}30\,s
Diagrama de blocos: r(s)\rightarrow [C(s)=23{,}787+1{,}30s]\rightarrow G(s)=\dfrac{10}{(s+1)(s+2)}\rightarrow y(s) com realimentação unitária y(s) subtraída em soma com r(s).

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