Dado o sistema descrito por
projete o sistema regulador de modo que em sua resposta transitória o sistema tenha
de overshoot e um tempo de acomodação de 0,5 segundos. Esboce o diagrama de blocos do sistema resultante.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema planta:
E pede duas coisas:
- Projetar um regulador (controlador) tal que a resposta transitória do sistema em malha fechada apresente overshoot de
e tempo de acomodação de segundos. - Esboçar o diagrama de blocos do sistema resultante.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A planta é de segunda ordem (dois polos em
e
) e está em malha unitária (o exercício não especifica outro tipo de realimentação, então assumiremos realimentação unitária ao projetar).
Passo 2
Entender a relação entre overshoot e razão de amortecimento
. Para sistemas de segunda ordem subamortecidos, a expressão que relaciona overshoot máximo percentual
com a razão de amortecimento
é:
Aqui:
-
é o overshoot máximo (em razão, não em %). Ex.: . -
é a razão de amortecimento (entre 0 e 1 para subamortecido).
Queremos encontrar
tal que
. Para resolver para
é útil isolar
. Fazendo álgebra (uso da forma conhecida):
Agora substituímos
. Primeiro calculemos
.
. Definindo
. Então
Calculando numericamente:
Portanto:
Passo 3
Relacionar tempo de acomodação
com
e frequência natural
. Vou usar o critério padrão de
para tempo de acomodação, cuja aproximação para sistema de segunda ordem subamortecido é:
(Explicação rápida: esse é um resultado aproximado obtido pela condição de que o termo exponencial dominante
decaia a um fator que deixe o erro dentro de
. Para
usa-se o fator 4; para
usa-se 3.)
Queremos
s. Isolando
:
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular os polos desejados (polos dominantes) a partir de
e
. Para um sistema de segunda ordem padrão, os polos complexos conjugados são:
Calculemos as partes real e imaginária:
Logo os polos desejados são aproximadamente:
A forma do polinômio característico desejado (produto
) é:
Substituindo valores:
Portanto o polinômio desejado é aproximadamente:
Passo 5
Escolher a estrutura do controlador. Precisamos que o polinômio do sistema em malha fechada tenha os coeficientes acima. Vamos analisar que controlador usar:
- Um ganho proporcional puro
em realimentação unitária produz o polinômio:
isto é:
Note que o coeficiente de
é fixo em
e não pode ser alterado só com ganho proporcional. Então um ganho proporcional não vai permitir obter
.
- Um controlador do tipo PD (derivativo mais proporcional),
, altera tanto o coeficiente de quanto o termo constante e, portanto pode ajustar os dois coeficientes que precisamos. Assim escolhemos um controlador PD. (Explicação prática: o termo aumenta a ação sobre as derivadas, deslocando a posição dos polos para a esquerda e alterando o coeficiente de .)
Passo 6
Montar a equação característica em malha fechada com
em realimentação unitária:
Função em malha aberta: .
Equação característica:
Função em malha aberta:
Equação característica:
Expandindo:
ou agrupando coeficientes:
Queremos que este polinômio coincida com o polinômio desejado
. Portanto igualamos coeficientes:
Passo 7
Resolver para
e
. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Arredondando de forma prática para projeto:
Passo 8
Verificação dos polos em malha fechada com esses ganhos. O polinômio fechado ficou:
cujas raízes são:
o que coincide com os polos desejados, portanto o sistema terá a razão de amortecimento
e frequência natural
calculadas, implicando
e
s (pela fórmula usada). Assim o projeto atende às especificações teóricas.
Passo 9
Comentário prático sobre implementação do termo derivativo: um derivador puro
não é fisicamente realizável (ruído, comportamento em alta frequência), então em prática usa-se um derivador filtrado do tipo
com
pequeno (por exemplo
uma fração pequena do tempo dominante do sistema) para evitar amplificação de ruído. Para fins de projeto teórico aqui mantemos o ideal
e, se necessário, implementar com filtro para aplicação real.
Passo 10
Esboço do diagrama de blocos do sistema resultante (realimentação unitária com controlador PD). Vou descrever um esboço ASCII e também explicar cada bloco:
Esboço ASCII:
r(s) —> [ C(s)=K_p + K_d s ] —> (+) ----> [ G(s)=10/((s+1)(s+2)) ] —> y(s)
^ |
|________________________________________|
r(s) —> [ C(s)=K_p + K_d s ] —> (+) ----> [ G(s)=10/((s+1)(s+2)) ] —> y(s)
^ |
|________________________________________|
Explicação:
-
é a referência (entrada desejada). - O erro
entra no controlador . - A saída do controlador alimenta a planta
. - A saída da planta é
e é retroalimentada diretamente para somar negativamente com (realimentação unitária).
Valores numéricos do controlador projetado:
Resposta
Diagrama de blocos: