Dado um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do ramo direto como sendo:
Gc(s) G(s)=0,5 Kc e^-theta s
Sabendo que após uma pequena mudança no ponto de referência, ocorre uma oscilação sustentada com um período de 10 minutos, determine os valores de Kc e de theta.

Passo 1

Beleza, tá aqui o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Temos um sistema de realimentação unitária cuja malha aberta é
L(s)=Gc(s),G(s)=0,5,Kc,e^-theta s
Depois de mexer de leve na referência, ele passa a oscilar sem amortecimento com período min.
O conteúdo que vamos aplicar é o critério da oscilação sustentada: para que exista oscilação permanente em , a malha aberta deve satisfazer
1) módulo igual a 1: ,
2) fase igual a (ou rad), mais algum múltiplo de , mas a primeira vez já basta.

Passo 2

Primeiro, calculamos a frequência de oscilação omega = 2piT = 2pi10 min = pi5;rad/min . Se o período é min, então

Passo 3

Agora aplicamos a condição de módulo em |L(jomega)| = 0,5,Kc,l|e^-jomegathetar| = 0,5,Kc cdot 1 = 1 Rightarrow Kc = 2 :

Passo 4

Depois aplicamos a condição de fase em ang<= L(jomega) = ang<=l(e^-jomegathetar) = -omega,theta = -pi Rightarrow theta = piomega . A única contribuição de fase vem do termo de atraso:
theta = pipi/5 = 5;min
Como ,

Resposta


min

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