Escreva as equações de movimento de um corpo suspenso de massa M a partir de um ponto fixo por uma mola com constante elástica k. Defina cuidadosamente onde o deslocamento do corpo é zero.

Passo 1

O enunciado pede pra gente escrever as equações de movimento de um bloco de massa pendurado numa mola de constante elástica . A matéria envolvida é Dinâmica (Lei de Newton) e Sistemas Massa-Mola. Vamos precisar:
  • Escolher um eixo e um ponto onde o deslocamento é zero;
  • Escrever as forças (peso e força elástica);
  • Aplicar ;
  • Se quisermos, mudar variáveis pra simplificar (posição de equilíbrio).

Passo 2

Definindo o referencial:
  • Tome o ponto fixo da mola como .
  • Eje vertical positivo pra baixo.
    Assim, quando o bloco desce e estica a mola de um comprimento , essa é nossa coordenada.

Passo 3

Forças atuantes (no bloco):
  1. Peso para baixo: sum F = M,y'' = M,g - k,y .
  2. Força elástica para cima: M,y'' + k,y = M,g .
    Como escolhemos para baixo positivo, somatório é
Reorganizando:

Passo 4

Essa equação é não homogênea por causa do termo constante k,yrm eq=M,g Longrightarrow yrm eq=M,gk . Pra simplificar, definimos o desvio em relação à posição de equilíbrio estático.
A posição de equilíbrio x = y - yrm eq satisfaz
y = x + M,gk Longrightarrow y''=x''
Agora, defina
M,x'' + kl(x + tfracM,gkr) = M,g Longrightarrow M,x'' + k,x + M,g = M,g Longrightarrow M,x'' + k,x = 0
Então
Substituindo em :

Resposta

Equação de movimento medida a partir da posição de suspensão ( M,y'' + k,y = M,g ):
M,x'' + k,x = 0
Se medires o deslocamento a partir do ponto de equilíbrio ( em ), fica a clássica mola livre:

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