Um processo de 1^a ordem com tempo morto tem a seguinte função de transferência:
G(s)=10 e^-td s2 s+1
Assuma que o processo é controlado por um controlador PI com Kc desconhecido e tauI=2 min. A partir do critério de estabilidade de Bode, determine o intervalo de valores do ganho Kc em função de td para os quais a resposta do sistema em malha fechada é estável.

Passo 1

Beleza, aqui vai o que o exercício pede, do jeito mais simples possível. A gente tem um processo de primeira ordem com tempo morto
G(s)=10,e^-td s2s+1
e um controlador PI com ganho (que a gente vai achar) e tempo integral min.
Conteúdo: critério de estabilidade de Bode (aquele que diz “onde a fase total atinge , a magnitude em malha aberta deve ser menor que 1 para garantir estabilidade”).
O que vamos precisar:
1. Montar a função de transferência em malha aberta .
2. Calcular fase total fase do PI + fase da planta + atraso.
3. Achar a frequência onde essa fase total é .
4. Exigir que nesse ponto e resolver para .
A partir do próximo passo a gente faz a conta para valer.

Passo 2

Escrevendo as duas partes:
  • Controlador PI: Gc(s)=Kcl(1+1tauI sr)=KctauI s+1tauI s
    - Planta com atraso:
    G(s)=10,e^-td s2s+1
Logo a malha aberta é
$$L(s)=G_c(s),G(s)
=K_c\frac{\tau_I s+1}{\tau_I s};\frac{10,e^{-t_d s}}{2s+1} ,. $$

Passo 3

Agora a fase de phitot(omega) =l[arctan(omegatauI)-90^circr] -arctan(2omega) -omega,td , é soma de três pedaços:
  1. fase do PI:
    .
  2. fase da planta (sem atraso):
    .
  3. atraso puro:
    (em radianos, mas a gente converte a conta direitinho).
Somando tudo:

Passo 4

Pelo critério de Bode, instabilidade aparece se em alguma frequência a fase for phitot(omegac)=-180^circ enquanto arctan(2omegac)-pi2 -arctan(2omegac) -omegac,td=-pi .
Na fronteira entre estável/instável, a gente tem exatamente
-pi2-omegac,td=-pi Longrightarrow omegac,td=pi2 Longrightarrow omegac=pi2,td
Substituindo e lembrando que 90° = π/2 rad:

Repare que cancela:

Passo 5

Na frequência |L(jomegac)|=1 a magnitude em malha aberta deve ser exatamente 1 (para achar o limite de estabilidade):
|Gc(jomega)| =Kc;raiz1+(omegatauI)^2omegatauI, |G(jomega)|=10raiz1+(2omega)^2,
Aproveitando que
1 =Kc;raiz1+(omegactauI)^2omegac,tauI ;cdot; 10raiz1+(2omegac)^2 Longrightarrow Kc =omegac,tauI10 ,raiz1+(2omegac)^2raiz1+(omegactauI)^2
temos
Kc =pi2td,210 cdot raiz1+(pi/td)^2raiz1+(pi/td)^2 =pi10,td
Agora plugamos e :
  • ,
  • .
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Resposta

O sistema em malha fechada fica estável para
0 < Kc < pi10,td

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