Um processo de
ordem com tempo morto tem a seguinte função de transferência:
Assuma que o processo é controlado por um controlador PI com
desconhecido e
. A partir do critério de estabilidade de Bode, determine o intervalo de valores do ganho
em função de
para os quais a resposta do sistema em malha fechada é estável.
Passo 1
Beleza, aqui vai o que o exercício pede, do jeito mais simples possível. A gente tem um processo de primeira ordem com tempo morto
e um controlador PI com ganho
Conteúdo: critério de estabilidade de Bode (aquele que diz “onde a fase total atinge
O que vamos precisar:
1. Montar a função de transferência em malha aberta
2. Calcular fase total
3. Achar a frequência onde essa fase total é
4. Exigir que
A partir do próximo passo a gente faz a conta para valer.
Passo 2
Escrevendo as duas partes:
- Controlador PI:
- Planta com atraso:
Logo a malha aberta é
$$L(s)=G_c(s),G(s)
=K_c\frac{\tau_I s+1}{\tau_I s};\frac{10,e^{-t_d s}}{2s+1} ,. $$
Passo 3
Agora a fase de
é soma de três pedaços:
- fase do PI:
. - fase da planta (sem atraso):
. - atraso puro:
(em radianos, mas a gente converte a conta direitinho).
Somando tudo:
Passo 4
Pelo critério de Bode, instabilidade aparece se em alguma frequência a fase for
enquanto
.
Na fronteira entre estável/instável, a gente tem exatamente
Na fronteira entre estável/instável, a gente tem exatamente
Substituindo
Repare que
Passo 5
Na frequência
a magnitude em malha aberta deve ser exatamente 1 (para achar o limite de estabilidade):
Aproveitando que
temos
Agora plugamos
e
:
-
, -
.
Logo
Resposta
O sistema em malha fechada fica estável para