O que o enunciado pede: determinar as deformações principais (os valores próprios do tensor de deformação) e as direções principais (os autovetores correspondentes).
Aqui a matriz dentro do parêntesis é simétrica e o fator 10^{-3} é comum a todos os elementos.]
Passo 2
O plano de ataque (explicação didática): para achar deformações principais e suas direções resolvemos o problema de autovalores/autovetores do tensor. Isso significa procurar \lambda e \mathbf{v}\neq\mathbf{0} tais que
[\varepsilon]\,\mathbf{v}=\lambda\,\mathbf{v}.
Os valores \lambda são as deformações principais e os \mathbf{v} (direções) são os autovetores. Para encontrar \lambda calculamos o determinante
\det\big([\varepsilon]-\lambda I\big)=0,
ou seja a equação característica. Como [\varepsilon]=10^{-3}A com
Agora achamos as direções (autovetores). Começo por \lambda=\sqrt{2}\). Resolvemos \((A-\sqrt{2}I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\). Escrevendo o sistema para \(\mathbf{v}=(x,y,z)^{T}\):
\[\begin{cases} -\sqrt{2}\,x - z = 0,\\[4pt] -\sqrt{2}\,y + z = 0,\\[4pt] - x + y - \sqrt{2}\,z = 0. \end{cases}
Da primeira equação z=-\sqrt{2}\,x\]. Da segunda \(z=\sqrt{2}\,y. Igualando -\sqrt{2}\,x=\sqrt{2}\,y dá y=-x. Tomando x=1 obtemos y=-1 e z=-\sqrt{2}. Um autovetor é
\mathbf{v}_1=(1,\,-1,\,-\sqrt{2})^{T}.
Normalizando (para obter direção unitária) calculamos a norma: \|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2. Assim o versor direção correspondente é
Para \lambda=-\sqrt{2}\) resolvemos \((A+\sqrt{2}I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\). O sistema:
\[\begin{cases} \sqrt{2}\,x - z = 0,\\[4pt] \sqrt{2}\,y + z = 0,\\[4pt] - x + y + \sqrt{2}\,z = 0. \end{cases}
Da primeira z=\sqrt{2}\,x\]. Da segunda \(z=-\sqrt{2}\,y. Igualando \sqrt{2}\,x=-\sqrt{2}\,y dá y=-x. Tomando x=1 obtemos y=-1 e z=\sqrt{2}. Um autovetor é
\mathbf{v}_3=(1,\,-1,\,\sqrt{2})^{T},
com norma \|\mathbf{v}_3\|=2, e o versor direção
\mathbf{n}_3=\frac{1}{2}(1,\,-1,\,\sqrt{2})^{T}.]
Passo 6
Para \lambda=0\) resolvemos \(A\mathbf{v}=\mathbf{0}\). O sistema é
\[\begin{cases} - z = 0,\\[4pt] \; z = 0,\\[4pt] - x + y = 0, \end{cases}
portanto z=0\] e \(y=x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
\mathbf{v}_2=(1,\,1,\,0)^{T}.
A norma é \sqrt{2}, então o versor direção é
\mathbf{n}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1,\,0)^{T}.]
Passo 7
Verificação rápida e observação teórica: como a matriz é simétrica, os autovalores são reais e os autovetores correspondentes são ortogonais. Podemos checar produtos escalares: