Dado o tensor de deformações infinitesimais abaixo, determine
as deformações principais e suas direções
[\varepsilon]=10^{-3} \times\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar as deformações principais (os valores próprios do tensor de deformação) e as direções principais (os autovetores correspondentes).
Informações dadas (copiadas do enunciado):
[\varepsilon]=10^{-3}\times \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui a matriz dentro do parêntesis é simétrica e o fator 10^{-3} é comum a todos os elementos.]

Passo 2

O plano de ataque (explicação didática): para achar deformações principais e suas direções resolvemos o problema de autovalores/autovetores do tensor. Isso significa procurar \lambda e \mathbf{v}\neq\mathbf{0} tais que
[\varepsilon]\,\mathbf{v}=\lambda\,\mathbf{v}.
Os valores \lambda são as deformações principais e os \mathbf{v} (direções) são os autovetores. Para encontrar \lambda calculamos o determinante
\det\big([\varepsilon]-\lambda I\big)=0,
ou seja a equação característica. Como [\varepsilon]=10^{-3}A com
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
é mais fácil primeiro achar os autovalores de A e depois multiplicá-los por 10^{-3}.]

Passo 3

Montamos a equação característica para A:
\det(A-\lambda I)= \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & -1\\[4pt] 0 & -\lambda & 1\\[4pt] -1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}.
Calculando o determinante (expansão pela primeira linha):
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)\big((-\lambda)(-\lambda)-1\cdot1\big)+(-1)\begin{vmatrix}0&-\lambda\\\ -1&1\end{vmatrix}.
Continuando as contas:
(-\lambda)(\lambda^2-1)+(-1)\big(0\cdot1-(-\lambda)(-1)\big) = -\lambda^3+\lambda +(-1)(-\lambda)= -\lambda^3+2\lambda.
Logo a equação característica é
-\lambda^3+2\lambda=0\quad\Longleftrightarrow\quad \lambda(\lambda^2-2)=0.
Portanto os autovalores de A são \lambda=0,\pm\sqrt{2}. Multiplicando pelo fator 10^{-3} obtemos as deformações principais:
\varepsilon=\,10^{-3}\times\{\,\sqrt{2},\;0,\;-\sqrt{2}\,\}.]

Passo 4

Agora achamos as direções (autovetores). Começo por \lambda=\sqrt{2}\). Resolvemos \((A-\sqrt{2}I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\). Escrevendo o sistema para \(\mathbf{v}=(x,y,z)^{T}\): \[\begin{cases} -\sqrt{2}\,x - z = 0,\\[4pt] -\sqrt{2}\,y + z = 0,\\[4pt] - x + y - \sqrt{2}\,z = 0. \end{cases}
Da primeira equação z=-\sqrt{2}\,x\]. Da segunda \(z=\sqrt{2}\,y. Igualando -\sqrt{2}\,x=\sqrt{2}\,y y=-x. Tomando x=1 obtemos y=-1 e z=-\sqrt{2}. Um autovetor é
\mathbf{v}_1=(1,\,-1,\,-\sqrt{2})^{T}.
Normalizando (para obter direção unitária) calculamos a norma: \|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2. Assim o versor direção correspondente é
\mathbf{n}_1=\frac{1}{2}(1,\,-1,\,-\sqrt{2})^{T}.]

Passo 5

Para \lambda=-\sqrt{2}\) resolvemos \((A+\sqrt{2}I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\). O sistema: \[\begin{cases} \sqrt{2}\,x - z = 0,\\[4pt] \sqrt{2}\,y + z = 0,\\[4pt] - x + y + \sqrt{2}\,z = 0. \end{cases}
Da primeira z=\sqrt{2}\,x\]. Da segunda \(z=-\sqrt{2}\,y. Igualando \sqrt{2}\,x=-\sqrt{2}\,y y=-x. Tomando x=1 obtemos y=-1 e z=\sqrt{2}. Um autovetor é
\mathbf{v}_3=(1,\,-1,\,\sqrt{2})^{T},
com norma \|\mathbf{v}_3\|=2, e o versor direção
\mathbf{n}_3=\frac{1}{2}(1,\,-1,\,\sqrt{2})^{T}.]

Passo 6

Para \lambda=0\) resolvemos \(A\mathbf{v}=\mathbf{0}\). O sistema é \[\begin{cases} - z = 0,\\[4pt] \; z = 0,\\[4pt] - x + y = 0, \end{cases}
portanto z=0\] e \(y=x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
\mathbf{v}_2=(1,\,1,\,0)^{T}.
A norma é \sqrt{2}, então o versor direção é
\mathbf{n}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1,\,0)^{T}.]

Passo 7

Verificação rápida e observação teórica: como a matriz é simétrica, os autovalores são reais e os autovetores correspondentes são ortogonais. Podemos checar produtos escalares:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=\frac{1}{2\sqrt{2}}(1\cdot1+(-1)\cdot1+(-\sqrt{2})\cdot0)=0,
e similarmente \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_3=0, \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{n}_3=0. Tudo consistente.

Resposta

\varepsilon^{(1)}=\sqrt{2}\times10^{-3},\quad \mathbf{n}^{(1)}=\dfrac{1}{2}\,(1,\,-1,\,-\sqrt{2})^{T}\n
\varepsilon^{(2)}=0,\quad \mathbf{n}^{(2)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,(1,\,1,\,0)^{T}\n
\varepsilon^{(3)}=-\sqrt{2}\times10^{-3},\quad \mathbf{n}^{(3)}=\dfrac{1}{2}\,(1,\,-1,\,\sqrt{2})^{T}

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