Dado um tetracdro cujos três vértices são \mathbf{A}=(0,0,0), \mathbf{B}=(1,0,1), \mathbf{C}=(1,-1,0), determinar o lugar geométrico descrito pelo vértice D que varia mantendo-se sempre no plano
x+2 y-z+1=0
e de modo que o volume do tetraedro ABCD permaneça constante.

Passo 1

O enunciado dá o tetraedro com vértices fixos \mathbf{A}=(0,0,0), \mathbf{B}=(1,0,1), \mathbf{C}=(1,-1,0)
e o vértice \mathbf{D}=(x,y,z) varia sujeitando-se ao plano
x + 2y - z + 1 = 0
além de manter o volume \mathcal V do tetraedro ABCD constante.
O conteúdo necessário é o cálculo do volume via produto misto e a interseção de planos.

Passo 2

Recordamos que o volume do tetraedro ABCD é dado por
\mathcal V=\frac{1}{6}\bigl|\det[\mathbf{D}-\mathbf{A},\,\mathbf{B}-\mathbf{A},\,\mathbf{C}-\mathbf{A}]\bigr|
Como \mathbf{A}=(0,0,0), temos \mathbf{D}-\mathbf{A}=\mathbf{D}.
Calculemos o vetor normal ao plano de ABC pelo produto vetorial
\mathbf{n}=(\mathbf{B}-\mathbf{A})\times(\mathbf{C}-\mathbf{A}) =(1,0,1)\times(1,-1,0)=(1,1,-1).

Passo 3

O determinante do produto misto é \mathbf{D}\cdot\mathbf{n}, logo
6\,\mathcal V=\bigl|\mathbf{D}\cdot\mathbf{n}\bigr| =\bigl|x+y-z\bigr|.
Para a parte orientada escolhemos o sinal tal que
x+y-z=6\,\mathcal V
(se desejar a outra “folga” toma-se x+y-z=-6\,\mathcal V).

Passo 4

Portanto \mathbf{D} deve satisfazer simultaneamente os dois planos
x+2y-z+1=0, \quad x+y-z=6\,\mathcal V.
A interseção de dois planos não paralelos é uma reta, logo o lugar geométrico de \mathbf{D} é essa reta.

Resposta

O lugar geométrico de \mathbf{D} é a reta definida pelo sistema
\begin{cases} x + 2y - z + 1 = 0,\\\ x + y - z = 6\,\mathcal V. \end{cases}

Exercícios relacionados