Dado um tetracdro cujos três vértices são \mathbf{A}=(0,0,0), \mathbf{B}=(1,0,1), \mathbf{C}=(1,-1,0), determinar o lugar geométrico descrito pelo vértice D que varia mantendo-se sempre no plano
x+2 y-z+1=0
e de modo que o volume do tetraedro ABCD permaneça constante.
Passo 1
O enunciado dá o tetraedro com vértices fixos \mathbf{A}=(0,0,0), \mathbf{B}=(1,0,1), \mathbf{C}=(1,-1,0)
e o vértice \mathbf{D}=(x,y,z) varia sujeitando-se ao plano
x + 2y - z + 1 = 0
além de manter o volume \mathcal V do tetraedro ABCD constante.
O conteúdo necessário é o cálculo do volume via produto misto e a interseção de planos.
Passo 2
Recordamos que o volume do tetraedro ABCD é dado por