8, Determinar o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos pontos \mathbf{A}=(1,1,1), B=(1,-1,-3) e C=(2,3,-4).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos X=(x,y,z) que estão à mesma distância de A=(1,1,1), de B=(1,-1,-3) e de C=(2,3,-4).
Conteúdo: geometria analítica em \mathbb{R}^3, usando a condição
\lvert X - P\rvert = \lvert X - Q\rvert
para obter o plano mediador de PQ, e então intersectar dois desses planos para encontrar uma reta.

Passo 2

Condição de equidistância de A e B:
\lvert X-A\rvert^2=\lvert X-B\rvert^2.
Escrevendo X=(x,y,z),
(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 - \bigl[(x-1)^2+(y+1)^2+(z+3)^2\bigr] =0.
Os termos em x se cancelam, e expandindo em y,z obtemos
-4y-8z-8=0 \quad\Longrightarrow\quad y+2z+2=0.
Chamemos este o plano P_{AB}.

Passo 3

Condição de equidistância de A e C:
\lvert X-A\rvert^2=\lvert X-C\rvert^2
implica
(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 - \bigl[(x-2)^2+(y-3)^2+(z+4)^2\bigr] =0.
Expandindo e simplificando surge
2x+4y-10z-26=0 \quad\Longrightarrow\quad x+2y-5z-13=0.
Este é o plano P_{AC}.

Passo 4

O lugar geométrico é a interseção de P_{AB}\) e \(P_{AC}\), dada pelo sistema \[\begin{cases} y+2z+2=0,\\\ x+2y-5z-13=0. \end{cases}
Da primeira equação y=-2z-2\]. Substituindo na segunda: \[x+2(-2z-2)-5z-13=0 \quad\Longrightarrow\quad x=9z+17.\] Defina \(t=z. Então
x=17+9t,\quad y=-2-2t,\quad z=t.

Passo 5

Podemos escrever a reta em forma paramétrica ou simétrica. Forma paramétrica:
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(17,\,-2,\,0\bigr) +t\,(9,\,-2,\,1).
Forma simétrica:
\frac{x-17}{9} \;=\;\frac{y+2}{-2}\;=\;\frac{z-0}{1}.

Resposta

O lugar geométrico é a reta de interseção dos planos
y+2z+2=0 \quad\text{e}\quad x+2y-5z-13=0,
cuja forma paramétrica é
(x,y,z)=(17+9t,\,-2-2t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.

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