Dado um vetor v com módulo de 10 unidades e orientação a sudeste, qual será seu valor se ele for multiplicado pelo número real 50 ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz assim: “Temos um vetor de módulo 10 unidades, apontando para sudeste. O que rola se a gente multiplicar esse vetor por 50?”
Conteúdo: vetores em componente cartesiana e multiplicação escalar de vetor.
O que vamos precisar:
  • Saber como expressar um vetor de módulo dado numa direção (sudeste) em componentes .
  • Entender que multiplicar por escalar só muda o tamanho, sem mexer na direção.

Passo 2

Teoria rapidinha sobre multiplicação escalar de vetor:
Se k,vec v é um vetor e é um número real, então
é um vetor com a mesma direção de , só que seu módulo fica vezes o módulo original.
Ou seja, se , então .
Mas pra ficar bonitinho, a gente vai ver também as componentes.

Passo 3

Expressando hat urm SE = l(cos45^circ,;sin(-45^circ)r) = l(tfrac1raiz2,;-tfrac1raiz2r) em componentes:
  • “Sudeste” é 45° abaixo da horizontal pra leste.
  • Num sistema onde vec v = 10,hat urm SE = 10l(tfrac1raiz2,;-tfrac1raiz2r) = l(tfrac10raiz2,;-tfrac10raiz2r) é pra leste e é pra norte, o versor (vetor unitário) sudeste é
  • Como , temos

Passo 4

Agora multiplica por 50:
50,vec v = 50 times l(tfrac10raiz2,;-tfrac10raiz2r) = l(tfrac500raiz2,;-tfrac500raiz2r)
A gente pode racionalizar pra ficar mais limpinho:
500raiz2 = 500raiz22 = 250raiz2
Então
50,vec v = l(250raiz2,;-250raiz2r)

Passo 5

Confirmação do módulo e direção:
  • Módulo:
  • Direção continua sudeste (45° abaixo da leste).

Resposta

50,vec v = l(250raiz2,;-250raiz2r),
que é um vetor de módulo unidades, apontando para o sudeste.

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