Dado o vetor \vec{\imath}=(-1,2,5). determinar três pares de pontos de \mathbf{R}^{3} cujos segmentos orientados representem o mesmo vetor \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{\imath}=(-1,2,5) e pede para determinar três pares de pontos de \mathbf{R}^{3} cujos segmentos orientados representem o mesmo vetor \vec{v}.
Informações dadas: \vec{\imath}=(-1,2,5).
O que é pedido: três pares de pontos (P,Q) em \mathbf{R}^{3} tais que o segmento orientado de P para Q represente \vec{\imath}.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): um segmento orientado de um ponto P para um ponto Q em \mathbf{R}^{3} representa o vetor \overrightarrow{PQ}. Se escrevemos P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então a fórmula que dá o vetor associado é
\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aqui x_1,y_1,z_1 são as coordenadas do ponto de partida P e x_2,y_2,z_2 são as coordenadas do ponto de chegada Q. A operação Q-P significa subtrair componente a componente.

Passo 3

Estratégia prática (como aplicar na prova): para construir um segmento que represente \vec{\imath} basta escolher arbitrariamente um ponto P=(a,b,c) e definir o ponto Q como a soma componente a componente de P com o vetor \vec{\imath}. Ou seja,
Q = P + \vec{\imath} = (a-1,\;b+2,\;c+5).
Dessa forma teremos
\overrightarrow{PQ}=Q-P=\vec{\imath},
porque cada componente cancela conforme a definição.

Passo 4

Primeiro exemplo concreto: escolha P_1=(0,0,0). Então
Q_1 = P_1 + \vec{\imath} = (0-1,\;0+2,\;0+5)=(-1,2,5).
Verificação: calcular \overrightarrow{P_1Q_1}:
\overrightarrow{P_1Q_1}=Q_1-P_1 = (-1-0,\;2-0,\;5-0)=(-1,2,5)=\vec{\imath}.
Portanto o segmento orientado de P_1 para Q_1 representa \vec{\imath}.

Passo 5

Segundo exemplo concreto: escolha P_2=(1,1,1). Então
Q_2 = P_2 + \vec{\imath} = (1-1,\;1+2,\;1+5)=(0,3,6).
Verificação:
\overrightarrow{P_2Q_2}=Q_2-P_2=(0-1,\;3-1,\;6-1)=(-1,2,5)=\vec{\imath}.
Logo o segmento orientado de P_2 para Q_2 também representa \vec{\imath}.

Passo 6

Terceiro exemplo concreto: escolha P_3=(2,-1,0). Então
Q_3 = P_3 + \vec{\imath} = (2-1,\;-1+2,\;0+5)=(1,1,5).
Verificação:
\overrightarrow{P_3Q_3}=Q_3-P_3=(1-2,\;1-(-1),\;5-0)=(-1,2,5)=\vec{\imath}.
Portanto o segmento orientado de P_3 para Q_3 também representa \vec{\imath}.

Passo 7

Observação geral e dica para a prova: há infinitas respostas possíveis. A forma geral de todas as soluções é: escolha qualquer P=(a,b,c)\in\mathbf{R}^{3} e tome
Q=(a-1,\;b+2,\;c+5).
Sempre \overrightarrow{PQ}=\vec{\imath}. Na prova, basta escolher pontos simples (inteiros pequenos) e verificar por subtração componente a componente.

Resposta

(0,0,0),\;(-1,2,5)
(1,1,1),\;(0,3,6)
(2,-1,0),\;(1,1,5)

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