Dado o vetor \vec{\imath}=(-1,2,5). determinar três pares de pontos de \mathbf{R}^{3} cujos segmentos orientados representem o mesmo vetor \vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá o vetor \vec{\imath}=(-1,2,5) e pede para determinar três pares de pontos de \mathbf{R}^{3} cujos segmentos orientados representem o mesmo vetor \vec{v}.
Informações dadas: \vec{\imath}=(-1,2,5).
O que é pedido: três pares de pontos (P,Q) em \mathbf{R}^{3} tais que o segmento orientado de P para Q represente \vec{\imath}.
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): um segmento orientado de um ponto P para um ponto Q em \mathbf{R}^{3} representa o vetor \overrightarrow{PQ}. Se escrevemos P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então a fórmula que dá o vetor associado é
Aqui x_1,y_1,z_1 são as coordenadas do ponto de partida P e x_2,y_2,z_2 são as coordenadas do ponto de chegada Q. A operação Q-P significa subtrair componente a componente.
Passo 3
Estratégia prática (como aplicar na prova): para construir um segmento que represente \vec{\imath} basta escolher arbitrariamente um ponto P=(a,b,c) e definir o ponto Q como a soma componente a componente de P com o vetor \vec{\imath}. Ou seja,
Q = P + \vec{\imath} = (a-1,\;b+2,\;c+5).
Dessa forma teremos
\overrightarrow{PQ}=Q-P=\vec{\imath},
porque cada componente cancela conforme a definição.
Passo 4
Primeiro exemplo concreto: escolha P_1=(0,0,0). Então
Portanto o segmento orientado de P_3 para Q_3 também representa \vec{\imath}.
Passo 7
Observação geral e dica para a prova: há infinitas respostas possíveis. A forma geral de todas as soluções é: escolha qualquer P=(a,b,c)\in\mathbf{R}^{3} e tome
Q=(a-1,\;b+2,\;c+5).
Sempre \overrightarrow{PQ}=\vec{\imath}. Na prova, basta escolher pontos simples (inteiros pequenos) e verificar por subtração componente a componente.