Se A=(2,-3,8) e B=(4,7,10), quais as coordenadas do ponto P=(x, y, z) tal que \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{P B} ? Dar a interpretação geométrica do resultado.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,-3,8) e B=(4,7,10). Pede duas coisas:
  1. Encontrar as coordenadas do ponto P=(x,y,z) tal que \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{P B}.
  2. Dar a interpretação geométrica do resultado.
As informações relevantes que temos: as coordenadas de A e B e a condição vetorial \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{P B}. Não começamos a resolver aqui — só organizamos o que foi pedido e o que sabemos.

Passo 2

Vamos traduzir a condição vetorial para coordenadas. Lembre que o vetor que vai de um ponto U=(u_1,u_2,u_3) para um ponto V=(v_1,v_2,v_3) é dado por
\overrightarrow{UV}=V-U=(v_1-u_1,\;v_2-u_2,\;v_3-u_3).
Isto significa que, no nosso caso,
\overrightarrow{A P}=P-A=(x-2,\;y-(-3),\;z-8)=(x-2,\;y+3,\;z-8),
e
\overrightarrow{P B}=B-P=(4-x,\;7-y,\;10-z).
Expliquei por que subtraímos coordenadas: cada componente do vetor é a diferença entre as coordenadas finais e iniciais na mesma direção.

Passo 3

Agora aplicamos a condição do enunciado \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{P B}. Igualando componente a componente obtemos o sistema
x-2 = 4-x,
y+3 = 7-y,
z-8 = 10-z.
Isto decorre do fato de vetores iguais têm todas as componentes iguais.

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
x-2 = 4-x \quad\Longrightarrow\quad x + x = 4 + 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
Expliquei cada passo: somei x dos dois lados e somei 2 aos dois lados para isolar x.

Passo 5

Resolvendo a segunda equação:
y+3 = 7-y \quad\Longrightarrow\quad y + y = 7 - 3 \quad\Longrightarrow\quad 2y = 4 \quad\Longrightarrow\quad y=2.
Novamente somei y e subtraí 3 para isolar y.

Passo 6

Resolvendo a terceira equação:
z-8 = 10-z \quad\Longrightarrow\quad z + z = 10 + 8 \quad\Longrightarrow\quad 2z = 18 \quad\Longrightarrow\quad z=9.
Mesma ideia: somei z e somei 8 para obter 2z.

Passo 7

Concluímos que o ponto procurado é
P=(3,2,9).
Agora dou uma interpretação geométrica didática: a igualdade \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{P B} implica que os vetores têm mesma direção e mesmo comprimento. Somando os dois vetores obtemos
\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{A B}.
Se \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{P B}, então \overrightarrow{A B}=2\overrightarrow{A P}, ou seja \overrightarrow{A P}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{A B}. Isso mostra que P fica exatamente no meio do segmento \overline{AB}: P é o ponto médio. Em coordenadas isso corresponde à fórmula do ponto médio
P=\frac{A+B}{2}=\left(\frac{2+4}{2},\frac{-3+7}{2},\frac{8+10}{2}\right)=(3,2,9),
o que confirma o resultado encontrado componente a componente.

Resposta

(3,2,9)
P é o ponto médio do segmento \overline{AB}.

Exercícios relacionados