Dado o vetor vec{v}=(2,-1,-3), encontrar o vetor paralelo a vec{v} tal que:
Seja de sentido contrário ao de vec{v} e de módulo 5 .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Dado o vetor \vec{v}=(2,-1,-3).
  • Queremos encontrar um vetor que:
    • seja paralelo a \vec{v};
    • tenha sentido contrário ao de \vec{v};
    • tenha módulo 5.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta e prática):
  • Vetores paralelos entre si são múltiplos escalares um do outro: se \vec{w} é paralelo a \vec{v} então existe um escalar \lambda tal que \vec{w}=\lambda\vec{v}.
  • Sentido contrário significa que \lambda<0 (ou seja, o múltiplo é negativo).
  • O módulo (norma) de um vetor \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) é dado por \displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
  • Vetor unitário na direção de \vec{v} é \displaystyle \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}. Para obter um vetor de módulo R e mesma direção usamos R\cdot\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}. Para o sentido contrário, multiplicamos por -R\cdot\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}.

Passo 3

Calcular o módulo de \vec{v}:
|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.

Passo 4

Formar o vetor unitário na direção de \vec{v} e então o vetor desejado:
  • Vetor unitário na direção de \vec{v}:
\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(2,-1,-3).
  • Como queremos sentido contrário e módulo 5, multiplicamos por -5:
\vec{w} = -5\cdot\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = -\frac{5}{\sqrt{14}}(2,-1,-3).

Passo 5

Expandir as componentes e verificar rapidamente o módulo:
  • Componentes:
\vec{w}=\left(-\frac{10}{\sqrt{14}},\;\frac{5}{\sqrt{14}},\;\frac{15}{\sqrt{14}}\right).
  • Verificação do módulo (checagem):
\left(-\frac{10}{\sqrt{14}}\right)^2+\left(\frac{5}{\sqrt{14}}\right)^2+\left(\frac{15}{\sqrt{14}}\right)^2 =\frac{100+25+225}{14}=\frac{350}{14}=25,
logo |\vec{w}|=\sqrt{25}=5, como desejado. Além disso o fator escalar é -\dfrac{5}{\sqrt{14}}<0, garantindo sentido contrário.

Resposta

\left(-\dfrac{10}{\sqrt{14}},\dfrac{5}{\sqrt{14}},\dfrac{15}{\sqrt{14}}\right)

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