Determine os valores de a, b, c e d :
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc} a & 3 \\ -1 & a+b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4 & d-2 c \\ d+2 c & -2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a,\;b,\;c e d sabendo que as duas matrizes são iguais:
\left[\begin{array}{cc} a & 3 \\\\ -1 & a+b \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4 & d-2c \\\ d+2c & -2 \end{array}\right].
Informações que o enunciado nos dá (correspondência de entradas, peguei esses dados do enunciado acima):
  • Entrada (1,1): a corresponde a 4.
  • Entrada (1,2): 3 corresponde a d-2c.
  • Entrada (2,1): -1 corresponde a d+2c.
  • Entrada (2,2): a+b corresponde a -2.
O que é pedido: encontrar os valores numéricos de a,\;b,\;c e d.

Passo 2

Princípio usado (aula rápida e direta): quando duas matrizes são iguais, todas as entradas correspondentes são iguais. Isso significa que a igualdade de matrizes acima gera um sistema de equações igualando cada par de entradas correspondentes. Não é necessário nenhuma operação de matrizes além de igualar as posições correspondentes.
Das correspondências listadas no Passo 1, escrevemos as equações:
\begin{cases} a = 4,\\[4pt] 3 = d - 2c,\\[4pt] -1 = d + 2c,\\[4pt] a + b = -2. \end{cases}]

Passo 3

Resolver imediatamente as equações que envolvem só a e b.
Da primeira equação:
a = 4.
Da quarta equação, isolando b:
a + b = -2 \quad\Rightarrow\quad b = -2 - a.
Substituindo a=4:
b = -2 - 4 = -6.
Então até aqui temos a=4 e b=-6.

Passo 4

Agora resolver as equações que envolvem c\) e \(d\). Reescrevendo-as: \[\begin{cases} d - 2c = 3,\\[4pt] d + 2c = -1. \end{cases}
Método: eliminação por soma ou subtração (é o jeito mais rápido aqui).
Subtraindo a segunda equação da primeira (ou seja, (d-2c)-(d+2c)\]): \[(d-2c)-(d+2c) = 3 - (-1).\] No lado esquerdo \(d cancela e fica -4c; no direito 3-(-1)=4. Logo
-4c = 4 \quad\Rightarrow\quad c = -1.
Agora que temos c, achamos d substituindo em uma das equações; use a primeira:
d - 2c = 3 \quad\Rightarrow\quad d = 3 + 2c.
Substituindo c=-1:
d = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1.
Portanto c=-1 e d=1.]

Passo 5

Verificação final (sempre bom conferir — faz bem na prova):
  • a=4 coincide com a entrada (1,1) do segundo lado (que é 4).
  • a+b = 4 + (-6) = -2 coincide com a entrada (2,2).
  • d-2c = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 coincide com a entrada (1,2).
  • d+2c = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 coincide com a entrada (2,1).
Tudo confere — solução correta. Força aí, já era a parte chata!

Resposta

a=4
b=-6
c=-1
d=1

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