Dado Dado que w=t^{2}+\tan \left(t e^{1 / s}\right), verifique que s^{2} \frac{\partial w}{\partial s}+t \frac{\partial w}{\partial t}=2 t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função w em termos de s e t:
w = t^{2} + \tan\!\bigl(t e^{1/s}\bigr).
O que é pedido: verificar a igualdade
s^{2}\frac{\partial w}{\partial s} + t\frac{\partial w}{\partial t} = 2 t^{2}.
Informações relevantes que vamos usar: a função \tan(u) tem derivada \dfrac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u), a exponencial e^{v} tem derivada e^{v}\,v', e a derivada de 1/s em relação a s é -1/s^{2}. Vamos calcular \dfrac{\partial w}{\partial t} e \dfrac{\partial w}{\partial s} e combinar conforme a expressão pedida.

Passo 2

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial t}. Trate s como constante ao derivar em relação a t.
A função é soma de t^{2} e \tan(u) com u=t e^{1/s}. Derivada de t^{2} é 2t. Pela regra da cadeia, a derivada de \tan(u) em relação a t é \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot \dfrac{\partial u}{\partial t}. Como u=t e^{1/s} e e^{1/s} é constante em relação a t,
\frac{\partial u}{\partial t}=e^{1/s}.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial t}=2t + e^{1/s}\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(t e^{1/s}\bigr).

Passo 3

Multiplicando por t (pois a expressão pede t\frac{\partial w}{\partial t}):
t\frac{\partial w}{\partial t}=t\biggl(2t + e^{1/s}\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(t e^{1/s}\bigr)\biggr)=2t^{2} + t e^{1/s}\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(t e^{1/s}\bigr).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial s}. Trate t como constante ao derivar em relação a s.
A derivada de t^{2} em relação a s é 0. Para \tan(u) com u=t e^{1/s}, pela regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial s}=\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(t e^{1/s}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial s}\bigl(t e^{1/s}\bigr).
Agora calcule \dfrac{\partial}{\partial s}\bigl(t e^{1/s}\bigr). Como t é constante:
\frac{\partial}{\partial s}\bigl(t e^{1/s}\bigr)=t\cdot\frac{d}{ds}e^{1/s}=t\cdot e^{1/s}\cdot\frac{d}{ds}\!\bigl(\tfrac{1}{s}\bigr).
E \dfrac{d}{ds}\!\bigl(\tfrac{1}{s}\bigr)=-\dfrac{1}{s^{2}}. Logo
\frac{\partial}{\partial s}\bigl(t e^{1/s}\bigr)=-t\frac{e^{1/s}}{s^{2}}.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial s}=-t\frac{e^{1/s}}{s^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(t e^{1/s}\bigr).

Passo 5

Multiplicando por s^{2} (pois a expressão pede s^{2}\frac{\partial w}{\partial s}):
s^{2}\frac{\partial w}{\partial s}=s^{2}\left(-t\frac{e^{1/s}}{s^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(t e^{1/s}\bigr)\right)=-t e^{1/s}\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(t e^{1/s}\bigr).

Passo 6

Somando as duas partes calculadas:
s^{2}\frac{\partial w}{\partial s} + t\frac{\partial w}{\partial t} = \bigl(-t e^{1/s}\operatorname{sec}^{2}\!(t e^{1/s})\bigr) + \bigl(2t^{2} + t e^{1/s}\operatorname{sec}^{2}\!(t e^{1/s})\bigr).
Os termos com \operatorname{sec}^{2} se cancelam, sobrando
s^{2}\frac{\partial w}{\partial s} + t\frac{\partial w}{\partial t} = 2t^{2}.
Portanto a igualdade pedida está verificada.

Resposta

s^{2}\dfrac{\partial w}{\partial s}+t\dfrac{\partial w}{\partial t}=2 t^{2}

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