Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação dy/dx = raiz(1 - y^2), qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
© (0, 2 pi)

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função que é uma solução explícita da equação diferencial . Precisamos descobrir qual intervalo de definição dessa função é o maior possível onde essa solução é válida. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e analisar onde a igualdade dada é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Sabemos que:

Passo 3

A equação diferencial nos dá que . Substituindo nessa equação, temos:

Passo 4

Sabemos que . Então, a equação fica:

Passo 5

A igualdade implica que deve ser não negativo, ou seja:

Passo 6

Vamos identificar os intervalos onde é não negativo. A função é positiva nos intervalos:
onde é qualquer número inteiro. Isso significa que em cada ciclo de , é positiva no primeiro e quarto quadrantes.

Passo 7

Para encontrar o maior intervalo contínuo onde satisfaz a equação diferencial, devemos escolher um intervalo onde permanece não negativa sem interrupções. O maior intervalo que satisfaz essa condição é:

Passo 8

Analisando as opções disponíveis, a opção © inclui nosso intervalo válido , porém também contém partes onde é negativa. No entanto, dentro desse intervalo, existem subintervalos onde a solução é válida, mas o maior intervalo contínuo onde a equação é satisfeita é .

Resposta

O maior intervalo de definição possível para a solução é .

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