Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um hiperboloide de duas folhas e faça um esboço da superfície.
(a) -x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 8 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para transformar a equação -x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 8 = 0 na forma padrão de um hiperboloide de duas folhas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos as diferentes superfícies no espaço. Para isso, vamos precisar rearranjar a equação e identificar os coeficientes certos para chegar à forma padrão desse tipo de hiperboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes. A equação original é:
Vamos mover o 8 para o outro lado da igualdade:

Passo 3

Agora, queremos que os coeficientes dos termos quadráticos fiquem isolados. Para isso, vamos dividir todos os termos por 8 para facilitar a comparação com a forma padrão:
Simplificando cada fração:

Passo 4

A forma padrão de um hiperboloide de duas folhas é:
Observe que o sinal negativo está associado ao termo z^2, o que nos ajuda a identificar que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados da nossa equação por -1 para ajustar os sinais:
Agora, a equação está na forma padrão de um hiperboloide de duas folhas.

Passo 6

Identificamos os valores de a, b e c comparando com a forma padrão:
  • então
  • então
  • então

Passo 7

Para esboçar o hiperboloide de duas folhas, lembramos que ele possui duas partes simétricas em relação ao plano z = 0. As duas “folhas” se abrem ao longo do eixo z. Com os valores de a, b e c, podemos desenhar as seções:
  • Plano xy: Quando z = 0, a equação se torna , o que não tem solução real, indicando que não há interseção com o plano xy.
  • Plano : Definindo y = 0, temos , que representa uma hipérbole.
  • Plano : Definindo x = 0, temos , que também é uma hipérbole.

Resposta

A equação -x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 8 = 0 reduzida à forma padrão de um hiperboloide de duas folhas é:
O esboço da superfície consiste em duas folhas simétricas ao longo do eixo z, cada uma abrindo-se infinitamente para cima e para baixo.

Exercícios relacionados