Para os dados abaixo construa duas distribuições de frequências: uma com classe e a outra sem classe:
45,41,42,41,4243,44,41,50,46,50,46,60,54,52,58,57,58,60,51

Passo 1

O enunciado pede que eu construa duas distribuições de frequência para os dados fornecidos: uma sem classe (frequência por valor) e outra com classes (intervalos). Os dados originais são:
45,41,42,41,4243,44,41,50,46,50,46,60,54,52,58,57,58,60,51
Observação importante (ambiguidade): no enunciado apareceu o número escrito como 4243, que não faz sentido no contexto (os outros números estão entre 41 e 60). Vou assumir que ali houve falta de vírgula e que os dois valores são 42 e 43. Se essa suposição estiver errada, os resultados mudam; como não posso perguntar, sigo com essa interpretação.
Com essa correção, a lista de observações (ordenada arbitrariamente) fica com n=20 valores:
45,41,42,41,42,43,44,41,50,46,50,46,60,54,52,58,57,58,60,51.
O que preciso entregar:
  • uma distribuição de frequência sem classes (tabela por valor),
  • uma distribuição de frequência com classes (tabela por intervalos).

Passo 2

Entendendo a distribuição sem classes e como montar: uma distribuição sem classes lista cada valor distinto observado, sua frequência absoluta f_i (quantas vezes aparece), a frequência relativa p_i (proporção f_i/n) e, se desejado, a frequência acumulada F_i (soma das frequências até aquele valor).
Primeiro organizo os valores distintos e conto quantas vezes aparecem. Vou ordenar os valores e contar um por um (contagem explícita para você poder seguir):
  • 41: aparece nas posições 2, 4 e 8 → f=3.
  • 42: aparece nas posições 3 e (interpretada) 5 → f=2.
  • 43: aparece na (interpretada) posição 6 → f=1.
  • 44: f=1.
  • 45: f=1.
  • 46: aparece duas vezes → f=2.
  • 50: aparece duas vezes → f=2.
  • 51: f=1.
  • 52: f=1.
  • 54: f=1.
  • 57: f=1.
  • 58: aparece duas vezes → f=2.
  • 60: aparece duas vezes → f=2.
Verificação rápida: somando as frequências dá 3+2+1+1+1+2+2+1+1+1+1+2+2=20, que é n, ok.
Agora calculo a frequência relativa p_i=\dfrac{f_i}{n} e a frequência acumulada F_i. Vou apresentar os cálculos para alguns casos e depois a tabela completa:
  • Para 41: p=\dfrac{3}{20}=0,15 e F=3.
  • Para 42: p=\dfrac{2}{20}=0,10 e F=5.
  • Para 43: p=\dfrac{1}{20}=0,05 e F=6.
    (etc.)
Tabela final da distribuição sem classes (detalhes de contagem e p_i mostrados):
Valor x — Frequência f_i — Frequência relativa p_i=\dfrac{f_i}{20} — Frequência acumulada F_i
\begin{array}{llll} x & f_i & p_i & F_i\\\ \hline 41 & 3 & 0,15 & 3\\\\ 42 & 2 & 0,10 & 5\\\\ 43 & 1 & 0,05 & 6\\\\ 44 & 1 & 0,05 & 7\\\\ 45 & 1 & 0,05 & 8\\\\ 46 & 2 & 0,10 & 10\\\\ 50 & 2 & 0,10 & 12\\\\ 51 & 1 & 0,05 & 13\\\\ 52 & 1 & 0,05 & 14\\\\ 54 & 1 & 0,05 & 15\\\\ 57 & 1 & 0,05 & 16\\\\ 58 & 2 & 0,10 & 18\\\\ 60 & 2 & 0,10 & 20\\\ \end{array}

Passo 3

Agora a distribuição com classes (como escolher classes, largura, etc.), passo a passo:
  1. Determinar o número de classes k. Uma regra comum é a fórmula de Sturges:
k = 1 + 3{,}322\log_{10} n.
Com n=20:
k \approx 1 + 3{,}322\log_{10}20 \approx 1 + 3{,}322\cdot 1{,}3010 \approx 5{,}32.
Arredondo para k=5 classes (valor inteiro).
  1. Calcular o intervalo (alcance) e a largura de classe h. Primeiro o valor mínimo e máximo:
\min x = 41,\qquad \max x = 60.
Intervalo total R=\max x - \min x = 60-41=19.
Largura aproximada h=\dfrac{R}{k}=\dfrac{19}{5}=3{,}8. Para facilitar, arredonda-se para cima a um valor conveniente (sempre arredondar para cima para garantir cobertura); escolho h=4.
  1. Definir os limites das classes. Como os dados são inteiros, uma forma simples é usar classes fechadas com largura 4 cobrindo todos os inteiros:
  • Classe 1: 41 a 44
  • Classe 2: 45 a 48
  • Classe 3: 49 a 52
  • Classe 4: 53 a 56
  • Classe 5: 57 a 60
Essas 5 classes têm amplitude 4 e cobrem de 41 até 60.
  1. Contar as observações em cada classe (faço a contagem através da tabela sem classes que já montei):
  • Classe 41\text{–}44: valores 41,42,43,44 → frequências 3+2+1+1=7.
  • Classe 45\text{–}48: valores 45,46,47,48 → frequências 1+2+0+0=3.
  • Classe 49\text{–}52: valores 49,50,51,52 → frequências 0+2+1+1=4.
  • Classe 53\text{–}56: valores 53,54,55,56 → frequências 0+1+0+0=1.
  • Classe 57\text{–}60: valores 57,58,59,60 → frequências 1+2+0+2=5.
Verificação: 7+3+4+1+5=20 (confere com n).
  1. Calcular frequência relativa e acumulada por classe:
  • Classe 41\text{–}44: f=7,\\ p=\dfrac{7}{20}=0,35,\\ F=7.
  • Classe 45\text{–}48: f=3,\\ p=0,15,\\ F=10.
  • Classe 49\text{–}52: f=4,\\ p=0,20,\\ F=14.
  • Classe 53\text{–}56: f=1,\\ p=0,05,\\ F=15.
  • Classe 57\text{–}60: f=5,\\ p=0,25,\\ F=20.
Tabela final da distribuição com classes:
Intervalo — Frequência f — Frequência relativa p — Frequência acumulada F
\begin{array}{llll} \text{Classe} & f & p & F\\\ \hline 41\text{–}44 & 7 & 0,35 & 7\\\\ 45\text{–}48 & 3 & 0,15 & 10\\\\ 49\text{–}52 & 4 & 0,20 & 14\\\\ 53\text{–}56 & 1 & 0,05 & 15\\\\ 57\text{–}60 & 5 & 0,25 & 20\\\ \end{array}

Passo 4

Resumo / interpretação curta (útil para prova):
  • A distribuição sem classes mostra exatamente quantas observações existem de cada valor (útil quando os dados têm poucas modalidades distintas).
  • A distribuição com classes agrupa valores próximos e é útil para visualizar padrões (como concentração de dados). Aqui vemos que a maior concentração está no primeiro grupo 41\text{–}44 (35% dos dados) e no último 57\text{–}60 (25% dos dados).

Resposta

Distribuição sem classes:
\begin{array}{llll} x & f_i & p_i & F_i\\\ \hline 41 & 3 & 0,15 & 3\\\\ 42 & 2 & 0,10 & 5\\\\ 43 & 1 & 0,05 & 6\\\\ 44 & 1 & 0,05 & 7\\\\ 45 & 1 & 0,05 & 8\\\\ 46 & 2 & 0,10 & 10\\\\ 50 & 2 & 0,10 & 12\\\\ 51 & 1 & 0,05 & 13\\\\ 52 & 1 & 0,05 & 14\\\\ 54 & 1 & 0,05 & 15\\\\ 57 & 1 & 0,05 & 16\\\\ 58 & 2 & 0,10 & 18\\\\ 60 & 2 & 0,10 & 20\\\ \end{array}
Distribuição com classes:
\begin{array}{llll} \text{Classe} & f & p & F\\\ \hline 41\text{–}44 & 7 & 0,35 & 7\\\\ 45\text{–}48 & 3 & 0,15 & 10\\\\ 49\text{–}52 & 4 & 0,20 & 14\\\\ 53\text{–}56 & 1 & 0,05 & 15\\\\ 57\text{–}60 & 5 & 0,25 & 20\\\ \end{array}

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