Os valores contidos na tabela abaixo se referem à massa em Kg de 50 pessoas adultas.
\mathbf{8 4} \mathbf{6 8} \mathbf{5 5} \mathbf{4 9} \mathbf{4 8} \mathbf{5 6} \mathbf{7 9} \mathbf{5 8} \mathbf{5 9} \mathbf{7 4}
\mathbf{8 9} \mathbf{6 7} \mathbf{5 7} \mathbf{5 5} \mathbf{5 4} \mathbf{7 9} \mathbf{7 4} \mathbf{5 9} \mathbf{7 3} \mathbf{7 5}
\mathbf{8 4} \mathbf{5 7} \mathbf{5 5} \mathbf{5 4} \mathbf{7 5} \mathbf{5 9} \mathbf{5 6} \mathbf{4 8} \mathbf{4 9} \mathbf{6 8}
\mathbf{6 7} \mathbf{8 8} \mathbf{7 4} \mathbf{7 9} \mathbf{6 7} \mathbf{8 9} \mathbf{8 4} \mathbf{7 3} \mathbf{7 5} \mathbf{7 9}
\mathbf{6 8} \mathbf{7 4} \mathbf{7 3} \mathbf{7 5} \mathbf{7 9} \mathbf{7 4} \mathbf{8 4} \mathbf{8 7} \mathbf{8 4} \mathbf{6 8}
Determine a distribuição de frequências, tendo 45 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados ele deu (peguei estes valores da tabela do enunciado). Os dados são as massas (em kg) de 50 pessoas, listadas abaixo na ordem em que aparecem:
84,\,68,\,55,\,49,\,48,\,56,\,79,\,58,\,59,\,74,
89,\,67,\,57,\,55,\,54,\,79,\,74,\,59,\,73,\,75,
84,\,57,\,55,\,54,\,75,\,59,\,56,\,48,\,49,\,68,
67,\,88,\,74,\,79,\,67,\,89,\,84,\,73,\,75,\,79,
68,\,74,\,73,\,75,\,79,\,74,\,84,\,87,\,84,\,68.
O enunciado pede: construir a distribuição de frequências usando como limite inferior da primeira classe 45 e intervalo de classe (amplitude) igual a 10.

Passo 2

Decidir as classes a partir do limite inferior e da amplitude.
  • Amplitude de classe = largura =10.
  • Começando em 45, as classes (adotando convenção: limite inferior incluído e limite superior excluído) ficam:
\text{Classe 1: }45 \le x < 55,
\text{Classe 2: }55 \le x < 65,
\text{Classe 3: }65 \le x < 75,
\text{Classe 4: }75 \le x < 85,
\text{Classe 5: }85 \le x < 95.
Explicação rápida da escolha da convenção: usar [\text{limite inferior},\\ \text{limite superior}) evita dupla contagem de observações exatamente no limite entre classes (por exemplo \,55), pois o 55 entra na classe 2, não na classe 1. Essas classes cobrem todos os dados porque o menor valor na lista é 48 e o maior é 89; a última classe chega até 95, então o 89 está incluído.

Passo 3

Contagem das observações por classe — explicando passo a passo como contar. Primeiro determine o número total de observações n=50. A frequência absoluta de uma classe f_i é simplesmente o número de observações cuja massa satisfaz a condição da classe. Vou mostrar para a Classe 1 explicitamente (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • Valores que caem em 45 \le x < 55: 49,\,48,\,54,\,48,\,49,\,54.
    Contando: f_1=6.

Passo 4

Continuo as contagens para as demais classes, listando as observações que pertencem a cada uma (pego os valores da tabela):
  • Classe 2 ( 55 \le x < 65): 55,\,56,\,58,\,59,\,57,\,55,\,59,\,57,\,55,\,59,\,56.
    Contando: f_2=11.

Passo 5

  • Classe 3 ( 65 \le x < 75): 68,\,74,\,67,\,74,\,73,\,68,\,67,\,74,\,73,\,68,\,67,\,73,\,74,\,73,\,68.
    (estas são todas as massas entre 65 e 74 inclusive do conjunto)
    Contando: f_3=15.

Passo 6

  • Classe 4 ( 75 \le x < 85): 84,\,79,\,79,\,75,\,75,\,79,\,84,\,75,\,79,\,79,\,84,\,75,\,84,\,84.
    Contando: f_4=14.

Passo 7

  • Classe 5 ( 85 \le x < 95): 89,\,88,\,89,\,87.
    Contando: f_5=4.
Verificação rápida: f_1+f_2+f_3+f_4+f_5 = 6+11+15+14+4 = 50 = n. OK.

Passo 8

Calcular marca de classe, frequência relativa e frequência acumulada.
  • Marca de classe (ponto médio) x_i é a média entre limite inferior e superior: x_i = \dfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}. Assim:
x_1=50,\\ x_2=60,\\ x_3=70,\\ x_4=80,\\ x_5=90.
  • Frequência relativa h_i = \dfrac{f_i}{n}, com n=50. Calculando:
h_1=\dfrac{6}{50}=0,12,\quad h_2=\dfrac{11}{50}=0,22,\quad h_3=\dfrac{15}{50}=0,30,
h_4=\dfrac{14}{50}=0,28,\quad h_5=\dfrac{4}{50}=0,08.
  • Frequência acumulada F_i é a soma das frequências até a classe i:
F_1=6,\\ F_2=6+11=17,\\ F_3=17+15=32,\\ F_4=32+14=46,\\ F_5=46+4=50.
Verificação adicional: \sum h_i = 0,12+0,22+0,30+0,28+0,08 = 1,00.

Resposta

45 \le x < 55;\\ x_i=50;\\ f_i=6;\\ h_i=0,12;\\ F_i=6
55 \le x < 65;\\ x_i=60;\\ f_i=11;\\ h_i=0,22;\\ F_i=17
65 \le x < 75;\\ x_i=70;\\ f_i=15;\\ h_i=0,30;\\ F_i=32
75 \le x < 85;\\ x_i=80;\\ f_i=14;\\ h_i=0,28;\\ F_i=46
85 \le x < 95;\\ x_i=90;\\ f_i=4;\\ h_i=0,08;\\ F_i=50

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